已知 a/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+c/(1+c+ca) = 1 ，求证：abc = 1

dlpangong

Future_maths 发表于 2018-12-1 09:41
通分，展开得到：-(abc)^2+2abc-1=0, 所以abc=1.

正规简洁通用证明,堪称最佳
由 abc=1 可得 a=b=c=1
希望依此处理楼主的6个问题

dlpangong

xfhaoym 发表于 2018-12-1 09:44
当三个分式相等时：a=b=c=1
有1/3+1/3+1/3=1此时abc=1

只是特解,不是证明
以 a=b=c=1为起点,可以证明是唯一解,但较难
相信xfhaoym有能力证明 abc = 1 是唯一解
试试看

王守恩

王守恩 发表于 2018-12-1 19:55
谁能提供更好的方法？

谢谢ccmmjj！说得好：不许循环论证！ 论证是我的弱项，到这里来就是学习的。

luyuanhong

当三个分式相等时：a=b=c=1
有1/3+1/3+1/3=1  此时abc=1
  xfhaoym 的方法很好！我喜欢(希望)这样的方法，下面的题目都可以吗？(主帖是第 1 题)
1，a/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+c/(1+c+ca) = 1   求证：abc = 1
2，a/(1+a+ab)+c/(1+b+bc)+b/(1+c+ca) = 1   求证：abc = 1
3，b/(1+a+ab)+a/(1+b+bc)+c/(1+c+ca) = 1   求证：abc = 1
4，b/(1+a+ab)+c/(1+b+bc)+a/(1+c+ca) = 1   求证：abc = 1
5，c/(1+a+ab)+a/(1+b+bc)+b/(1+c+ca) = 1   求证：abc = 1
6，c/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+a/(1+c+ca) = 1   求证：abc = 1

1.  题  已知 a/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+c/(1+c+ca) = 1 ，求证：abc = 1 。

证  从上式得

a(1+b+bc)(1+c+ca)+b(1+a+ab)(1+c+ca)+c(1+a+ab)(1+b+bc) = (1+a+ab)(1+b+bc)(1+c+ca) ，

展开整理后得 -(abc)^2+2abc-1 = -(abc-1)^2 = 0 ，可知必有 abc-1 = 0 ，即 abc = 1 。


2. 题 已知 a/(1+a+ab)+c/(1+b+bc)+b/(1+c+ca) = 1 ，是否可证明 abc = 1 ？

答  不能。例如，令 a = 0 ，b = 1 ，c = 0 ，满足

a/(1+a+ab)+c/(1+b+bc)+b/(1+c+ca) = 0/(1+0+0)+0/(1+1+0)+1/(1+0+0) = 1 。

    但是 abc = 0×1×0 = 0 ≠ 1 。


3. 题 已知 b/(1+a+ab)+a/(1+b+bc)+c/(1+c+ca) = 1 ，是否可证明 abc = 1 ？

答  不能。例如，令 a = 1 ，b = 0 ，c = 0 ，满足

b/(1+a+ab)+a/(1+b+bc)+c/(1+c+ca) = 0/(1+1+0)+1/(1+0+0)+0/(1+0+0) = 1 。

    但是 abc = 1×0×0 = 0 ≠ 1 。


4. 题 已知 b/(1+a+ab)+c/(1+b+bc)+a/(1+c+ca) = 1 ，是否可证明 abc = 1 ？

答  不能。例如，令 a = 0 ，b = 1 ，c = 0 ，满足

b/(1+a+ab)+c/(1+b+bc)+a/(1+c+ca) = 1/(1+0+0)+0/(1+1+0)+0/(1+0+0) = 1 。

    但是 abc = 0×1×0 = 0 ≠ 1 。


5. 题 已知 c/(1+a+ab)+a/(1+b+bc)+b/(1+c+ca) = 1 ，是否可证明 abc = 1 ？

答 不能。例如，令 a = 0 ，b = 1 ，c = 0 ，满足

c/(1+a+ab)+a/(1+b+bc)+b/(1+c+ca) = 0/(1+0+0)+0/(1+1+0)+1/(1+0+0) = 1 。

    但是 abc = 0×1×0 = 0 ≠ 1 。


6. 题 已知 c/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+a/(1+c+ca) = 1 ，是否可证明 abc = 1 ？

答 不能。例如，令 a = 1 ，b = 0 ，c = 0 ，满足

c/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+a/(1+c+ca) = 0/(1+1+0)+0/(1+0+0)+1/(1+0+0) = 1 。

    但是 abc = 1×0×0 = 0 ≠ 1 。

dlpangong

如果 a>0 b>0  c>0 结果如何?

luyuanhong

dlpangong 发表于 2018-12-2 12:07
如果 a>0 b>0  c>0 结果如何?

2.题 已知 a/(1+a+ab)+c/(1+b+bc)+b/(1+c+ca) = 1 ，是否可证明 abc = 1 ？

答  不能。例如，令 a = 1 ，b = 3 ，c = 2 ，满足

a/(1+a+ab)+c/(1+b+bc)+b/(1+c+ca) = 1/(1+1+3)+2/(1+3+6)+3/(1+2+2) = 1/5+1/5+3/5 = 1 。

    但是 abc = 1×3×2 = 6 ≠ 1 。


3. 题 已知 b/(1+a+ab)+a/(1+b+bc)+c/(1+c+ca) = 1 ，是否可证明 abc = 1 ？

答  不能。例如，令 a = 3 ，b = 2 ，c = 1 ，满足

b/(1+a+ab)+a/(1+b+bc)+c/(1+c+ca) = 2/(1+3+6)+3/(1+2+2)+1/(1+1+3) = 1/5+3/5+1/5 = 1 。

    但是 abc = 3×2×1 = 6 ≠ 1 。


4. 题 已知 b/(1+a+ab)+c/(1+b+bc)+a/(1+c+ca) = 1 ，是否可证明 abc = 1 ？

答  不能。例如，令 a = 2 ，b = 2 ，c = 0.946695464161348… ，满足

b/(1+a+ab)+c/(1+b+bc)+a/(1+c+ca) = 2/(1+2+4)+0.9466…/(1+2+1.8933…)+2/(1+0.9466…+1.8933…) = 1 。

    但是 abc = 2×2×0.94669546 = 3.78678185… ≠ 1 。


5. 题 已知 c/(1+a+ab)+a/(1+b+bc)+b/(1+c+ca) = 1 ，是否可证明 abc = 1 ？

答 不能。例如，令 a = 2 ，b = 2 ，c = 1.1212416497483… ，满足

c/(1+a+ab)+a/(1+b+bc)+b/(1+c+ca) = 1.1212…/(1+2+4)+2/(1+2+2.2424…)+2/(1+1.1212…+2.2424…) = 1 。

    但是 abc = 2×2×1.121241649… = 4.48496659… ≠ 1 。


6. 题 已知 c/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+a/(1+c+ca) = 1 ，是否可证明 abc = 1 ？

答 不能。例如，令 a = 2 ，b = 1 ，c = 3 ，满足

c/(1+a+ab)+b/(1+b+bc)+a/(1+c+ca) = 1/(1+2+2)+1/(1+1+3)+3/(1+3+6) = 1/5+1/5+3/5 = 1 。

    但是 abc = 2×1×3 = 6 ≠ 1 。

王守恩

Future_maths 发表于 2018-12-1 09:42
谁能提供更好的方法？

谁能提供更好的方法？欢迎批评！

王守恩

Future_maths 发表于 2018-12-1 09:42
谁能提供更好的方法？

谁能提供更好的方法？
还能用通分，展开的方法吗？
谢谢！应该限制a,b,c,d是正数.

王守恩

愚蠢的驴子 发表于 2018-12-3 13:30
如果不附加条件的话，这种证法散发着{胡咧咧}的味道。呵呵……

神通广大的永远！能提供点相关的资料吗？！
我不知道哪里卡住了，掉进坑里绕来绕去出不来了！

王守恩

王守恩 发表于 2018-12-6 12:49
神通广大的永远！能提供点相关的资料吗？！
我不知道哪里卡住了，掉进坑里绕来绕去出不来了！

我们限制所有的字母：a,b,c,d....都是正数。
结论没有问题。期待有简洁的证明方法。