趣味几何－平面上一点与正三角形

shuxuestar

內點正確

ccmmjj

很好继续。

shuxuestar

解答:




搞错一个数值,稍修改一下.....

ccmmjj

你是位高中教师吧？解几方法很熟嘛。13楼的解法很有想法，但图和论证有些不符。你那C2圆显然不是以C为圆心的，改一下吧，我认为这个证明是基本正确的。

ataorj

shuxuestar的解答如图 平面上一点与正三角形1.GIF:这只是直观的部分的证明了m<=r+r',下面试用代数来完整证明:
√[(1-a)^2+b^2]<=√[a^2+(b-√3)^2]+√[(1+a)^2+b^2]
上式左右两边都可以放心平方[因为[(1-a)^2+b^2],[a^2+(b-√3)^2],[(1+a)^2+b^2]都非负数]:
左平方:
1-2*a+a^2+b^2
右平方:
4+2*a+2*a^2-2*Sqrt[3]*b+2*b^2+2*Sqrt[(1+2*a+a^2+b^2)*(3+a^2-2*Sqrt[3]*b+b^2)]
右-左=3+4*a+a^2-2*Sqrt[3]*b+b^2+2*Sqrt[(1+2*a+a^2+b^2)*(3+a^2-2*Sqrt[3]*b+b^2)]
其中 4*a 和 -2*Sqrt[3]*b 都可能为负数,我无能继续分析 右-左 的大小了....

shuxuestar

ccmmjj 发表于 2015-4-14 02:03
你是位高中教师吧？解几方法很熟嘛。13楼的解法很有想法，但图和论证有些不符。你那C2圆显然不是以C为圆心 ...

我用的公式可能有误,修改后计算不对.你有没有相关公式可以共享?

ataorj

证明m=r+r'是三角形ABC的外接圆方程即可,我不太擅长...

ataorj

先求圆心坐标(x,y):
(x+1)^2+y^2=(x-1)^2+y^2
(x+1)^2+y^2=(y-√3)^2+x^2
(x,y)=(0,1/√3)
求圆半径n:
n=((x+1)^2+y^2)^(1/2)=2/√3
求圆(a,b):
(a-x)^2+(b-y)^2=n^2,即a^2+(b-1/√3)^2=4/3,
a^2+(b-1/√3)^2=4/3与√[(1-a)^2+b^2]=√[a^2+(b-√3)^2]+√[(1+a)^2+b^2]为何等价呢?...

ataorj

这是要证因为圆方程a^2+(b-1/√3)^2=4/3,则a=±√[(4/3-(b-1/√3)^2]
[下面用-/+表示-或+]
1) √[(1-a)^2+b^2]
=√[(-/+2√[(4/3-(b-1/√3)^2]+1+(4/3-(b-1/√3)^2+b^2]
=√[(-/+2√[(4/3-(b-1/√3)^2]+1+(4/3-(b-1/√3)^2+b^2]
2) √[a^2+(b-√3)^2]+√[(1+a)^2+b^2]
=√[(4/3-(b-1/√3)^2+(b-√3)^2]
+√[±2√[(4/3-(b-1/√3)^2]+1+(4/3-(b-1/√3)^2+b^2]
应该得到 1)=2)[这个可能很麻烦,我忽略而放弃],然后证毕.
如上思路是否正确呢?

ataorj

还需要分析a^2+(b-1/√3)^2≠4/3的情形