向数学专家请教 磨练自己

塞上平常心

向数学专家请教  磨练自己⑹
2014年9月29日，我将修改后的《数学与观察之一：采用二进制数探索Collatz问题》再次投到科学智慧火花。下面是文章的核心内容：

塞上平常心

（接上）
这里借鉴了他人的表达方法（邬家邦《3N+1猜想》100页）。我采用二进制，(1.1)演变为(1.2)式，并没有本质区别，但计算大大简化了。
m∈M，显然上式适用于任何奇数，并非只适用于某些特定形式的奇数。
采用二级之后，一系列的除10（2）的计算变得极其简单；而奇数乘11(3)的仅仅是简单的错位加法，不存在专家担忧的“写不出明确的结果”。这里的计算原则适用于任何奇数。考虑到许多人不熟悉二进制，我举了一个具体计算例子，这是上面计算原则的展示，并非是用例子推导出计算的原则。

我的投稿文章取名“数学与观察”，因为我是从观察入手的。观察，必然要有具体对象，举例不可避免。在文章，我往往先介绍观察分析的结果，然后再写出必要的证明，并非以初步的观察结果作为最后的结论。在《数学与观察之一》中，我有这样的举例：

下面显示的是两段迭代序列，一个是递增序列段，另一个是递减序列段，只看十进制数，分析归纳它们的变化规律不是一件容易的事情。
223039、334559、502839、752759、1129139、1693709
846849、635137、476353、357265、267949
将它们用二进制数表示时，某些规律性的东西立即展现在我们面前：
        110110011100111111(223039)         11001110110000000001(846849)
      1010001101011011111             10011011000100000001
     1111010100001001111             1100100010011000001
   10110111110001110111            1001011001110010001
100010011101010110011            111000011010101101
110011101100000001101
递增序列段的首项尾部是一个连续的1字符，接下来每项尾部的1字符段依次减少一个1字符；
递减序列段的首项尾部的字符1之前有若干个连续的0字符，接下来每项尾部的0字符段依次减少二个0字符。

对这个举例我没有写出证明，原因是：⑴证明较简单，我不希望因此浪费专家与读者的时间；⑵该例仅仅是要说明使用二进制后，可通过数字结构变化观察发现某些规律性的东西。这些规律，有些是后面将要介绍的，有些与我们的论证关系不大，故暂且不作深入论述。为此在稿件的最后，我专门附了几句话：“文章最后展示的简单规律的证明是非常简单的数字计算，如果编辑组认为需要写出来，我可以补充。”
现将证明补充如下（为便于大家讨论，采用十进制）：

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12楼文章最后内容的证明与前面的证明面类似，不再重复。另外，任何奇数必定是以上4种之一，也不再推论。如果有人愿意看证明，我也可以写出来。

任在深

请问？
        用二进制如何表示无穷？！
        那么当X趋于无穷时，如何证明：3X+1→1?
算了吧！
      希望尽快回到正确轨道上来！

塞上平常心

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       在采用二进制数的基础上，适度压缩研究范围，有利于展现完善的Collatz图并发现其基本规律。
    压缩研究范围不是写出某个或某些奇数的二进制表达方式，也绝非只分析某些特定形式的奇数，而是通过认真论证，逐步确定若Collatz问题对于某 奇数集M的所有元素都成立，则对于自然数集N的所有元素都成立。
    我首先说明，若Collatz问题对于奇数集M的所有元素都成立，则对于自然数集N的所有元素都成立。
       接着论证了，若Collatz问题对于奇数集A的所有元素都成立，则对于奇数集M、自然数集N的所有元素都成立。
       最后又论证了，若Collatz问题对于奇数集B的所有元素都成立，则对于奇数集A、奇数集M、自然数集N的所有元素都成立。
       审稿专家提醒我该问题“并非只对奇数”，这是针对“若Collatz问题对于某奇数集M的所有元素都成立，则对于自然数集N的所有元素都成立”而言的。这个论断是众多研究者的共识，正如邬家邦先生说，“事实上，压缩迭代……正被越来越多的研究者采用”。在这个问题中，遇到偶数就要除2，直至变为奇数，且从偶数变为奇数的过程中序列逐项递减。至于具体的研究者是在自然数范围内研究，还是奇数范围内，那是研究者根据自己的研究方法、认识、目的做出的决定。我认为在奇数范围内研究较好。审稿专家在给出这样的提醒时，显然未加思索，否则不会犯这样简单的错误。
    后来，专家一再说，“对某种特定形式的数可以采用特定的方法，但特定形式的种类是无穷无尽的，不可能对所有奇数找到统一的处理办法。”这才是专家的真实想法。正是这样的想法妨碍了专家认真审查我的推理。一个人怎么会认真对待“绝对不可能发生的事情”呢？
    也许专家感到，这些靠举例的文章真烦人。他基本上没有对我的具体论证进行审查，我感到惋惜，因为失去了一次专家学习的宝贵机会。
    没有必要再纠缠这些了。问题的关键在于我的文章是举例还是论证，论证是否严谨。我非常渴望听到有关这方面的批评意见。

    若Collatz问题对于奇数集A的所有元素都成立，则对于奇数集M、自然数集N的所有元素都成立。
       这是我文章中定理1的结论。内蒙古科技大学包头师范学院郝生旺先生的文章就过类似的定理和证明(《3n+1问题的直接证明》引理3 中国科技网2008年5月21日)。我通过观察二进制数结构发现并证明这一定理，这与我上一篇文章中判断e(Ci-1(m))的具体数值的⑶⑷基本上是一个问题，不必再举例了。下面将我的证明改用十进制，继续来讨论。

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x≡5(mod8)
若用二进制表示为：
x≡101(mod1000)
这类二进制数的末尾由若干个“01”字符组成，很容易辨认，如：
1001110111010101
111110101000010101
11111101010101
……
这些当然是举例了。但我的结论，不是依靠举例，而是通过证明后才肯定的，那就是前面证明的定理1.

塞上平常心

我的文章原来采用二进制数，这次许多地方改用十进制。17*的论述中各别地方没有改过来，经朋友指出，今天做了更正。
欢迎各位批评指正。

塞上平常心

根据朋友提出的问题，将定理1及其证明改写如下：

塞上平常心

该问题应该有严谨是证明。
看过论坛上网友、老师用概率理论的证明，这样的证明是指出了大趋势，给我们以证明的信心，但还不是最后的证明。
我希望大家继续认真探讨。

任在深

注意！
        3X+1=4Y !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!