平面上有五个点，其中任何三点都不共线，证明：其中必有四个点是凸四边形的顶点

闲人一堆

证明分两部分，第一部分是：
三角形ABC中，做射线BA（B为射线的端点）延长到L1，同样做射线CA（C为射线的端点）延长到L2.在三角形ABC 之外的角部L1AL2内取一点D，AD所在直线设为L5，，连接BD，并延长至L3.连接CD，并延长至L4，做射线AB（A为射线的端点）延长到L6，做射线AC（A为射线的端点）延长到L7。现在整个平面被分为13部分。
在这13 个部分里面，无论在哪个部分里面取一点，都要和点A点B点C点D四个点之中的任何三点构成凸四边形的顶点，所以结论是正确的，证毕。
第二部分是：D点选择在三角形ABC任意一边的外外面，这一部分的证明就更简单了，不用我再写了。

闲人一堆

上楼的证明是在三角形外面取点的证明。
现在做在三角形内部任取一点的证明
补充：在三角形内部任取一点的证明就是上楼第一步分的证明一样的道理。

ataorj

闲人一堆 发表于 2019-1-22 11:42
A是在BDE之外，但是这时连接AD和AE。那么如果B点在三角形ADE内部呢，还是不对，所以5楼的说明也有问题。

[做了图才发觉 闲人一堆 正确。
在三角形外时仅能一个是凸四边形。]

ataorj

是一个平面内下的讨论，首先说明下，四边形为凸四边形的条件为，该四边形任意一个顶点都不在其余三顶点为顶点的三角形内。

如图,[前文中互换A和D,B和E才和这里一致]
D在青色区域时和ABC构成的都是凹四边形,否则合题目
所以仅仅需要讨论D在青色区域时,分两种情形D1和D2;
E也一样仅仅需要讨论E在青色区域时,遵从D,分3种情形E1和E2,E3.
所以有6种情形需要考虑:
D1E1,D1E2,D1E3,D2E1,D2E2,D2E3.[前文仅仅证明了D1E1时题目成立,需要更正一下前文结论中对应两个四边形中必有一个为凸的]
每种情形下,由于这时D和E都分别不能和ABC合题目结论的要求,所以必须同时有D和E参与,ABC中需要舍弃一点,这样分3种情形:
DEAB,DEBC,DECA;
这样共有6*3=18种情形,每种情形可能都需要考虑建立新的青色区域...我放弃.

ataorj

可以证明的,继续.
6种情形需要考虑:
D1E1,D1E2,D1E3,D2E1,D2E2,D2E3
1 D1E1,设E1在三角形AD1C内,又设E1在直线BD1下方[如图],则D1E1CB为凸四边形;同理E1在直线BD1上方时D1E1AB为凸.这2凸必择一.
2 D1E2,设E2在直线D1A右方[如图],则E2AD1C为凸;同理E2在直线D1A左方时E2AD1B为凸.这2凸必择一.
3 D1E3,同上,参照的直线是D1C
[4 D2E1,同D1E3,应该略过.]
5 D2E2,同上,参照的直线是AD2
6 D2E3,D2ACE3为凸
所以主题命题成立.

elim

ataorj

1 D1E1,设E1在三角形AD1C内,则可见D1E1同D1E3
2 D1E2,同D1E3
4 D2E1,同D1E3
所以实际上仅仅三种情形:
3 D1E3,同上,参照的直线是D1C
5 D2E2,同上,参照的直线是AD2
6 D2E3,D2ACE3为凸
归结为三种情形是分析的结果,是对6种情形的提炼,并非说明前面分6种情形不妥当,因为分析和过程是逐步的.
elim的图片没能体现我图片中的D1E3情形
我图片中BD1CE3和AD1CE3,二者择一为凸

elim

上面三类情况i概括了所有可能。

ataorj

你的对顶区域不包括三角形ABC内部，否则你会说7个区域而非6个
如果你做出你我图形，你看能全面特征对应么？

ataorj

你缺少了一个区域，起码缺少两个情形
同在ABC内，
一内一外