四边形 ABCD 中，∠ABD=50°，∠DBC=30°，∠ACD=30°，∠ACB=40°，求∠DAC 和 ∠ADB

simpley · 发表于 2019-2-4 12:35

这个题靠正弦是算不出来的。它最后会得出一个三角方程，而这个方程的解不是算出来的，是把解代入到方程结果成立，从而说明解正确

Ysu2008 · 发表于 2019-2-6 14:50

这题用纯几的办法怎么搞？

ccmmjj · 发表于 2019-2-8 22:45

因为没有看到好的解答过程（陆老师都不转帖），只好自己动脑想了两天，得到一个三角方程的解。特贴出来以飨网友。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
关于这个方法对应的三角方程是可以解出来的，那是因为角度特殊的缘故。正是因为这组特殊的角，所以有这种特殊的方法。所以这类题目虽然是可解的题目，但却不是一般代数可解的题目。从这个角度推测，一般几何方法可能是不存在的。
注：“一般代数可解”的意思是能使用有限次加减乘除、乘方开方得到答案的题目。

Ysu2008 · 发表于 2019-2-9 00:50

本帖最后由 Ysu2008 于 2019-2-9 00:55 编辑

以下几个证明方向我都没成功，大家可尝试下。
因为未知角有两个，推证过程中只要试图利用角，似乎都不能成功。

luyuanhong · 发表于 2019-2-9 01:08

楼上 ccmmjj 的解答很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩 · 发表于 2019-2-9 19:21

本帖最后由王守恩于 2019-2-10 10:27 编辑

王守恩发表于 2019-2-9 11:06
给出任意角度的通用解法！

设交点为E，在三角形BCE中：CE=sin30，BE=sin40

给出任意角度的通用解法！

设交点为E，在三角形BCE中：CE=sin30，BE=sin40

在三角形CDE中：CE=sin80sin30/sin80，DE=sin30sin30/sin80

在三角形ABE中：BE=sin60sin40/sin60，AE=sin50sin40/sin60

在三角形ADE中：已知两边与夹角，求另两个角，

sin∠DAC/sin∠ADB=sin∠DAC/sin(70-∠DAC)=DE/AE=(sin30sin30/sin80)/(sin50sin40/sin60)

由方程：NSolve [sin(x)/sin(70-x)=(sin30sin30/sin80)/(sin50sin40/sin60) && 0 < x < 70, x]

解得：∠DAC=20，∠ADB=50

llshs好石 · 发表于 2019-2-9 21:43

ccmmjj · 发表于 2019-2-10 15:39

终于找到纯几何证明了，因为有30度角的关系。

luyuanhong · 发表于 2019-2-10 15:52

谢谢楼上 llshs好石和 ccmmjj 的解答。

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ataorj · 发表于 2019-2-10 22:36

这里看不到角平分线之逆，最后应该由三角形AFD全等于AHD得到结果吧？

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四边形 ABCD 中，∠ABD=50°，∠DBC=30°，∠ACD=30°，∠ACB=40°，求∠DAC 和 ∠ADB

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