将五个数字连成一环，使得这些数以及相邻的二、三、四、五个数之和，分别等于 1～21

天山草@

具体程序如下：

Private Sub form_Click()
     Open "六颗珠子 1.txt" For Output As #1      ' 将计算结果记入一个 txt 文件
     
     Dim a(31)   '{A}={A1}+{A2}+{A3}+{A4}+{A5}+{A6}={1，2，3，4，5，…，30，31} 集合的元素个数
     n = 31
     For x = 2 To 25      ' 此处 25 估计得肯定偏大了（防止漏掉解），但不会影响计算结果。
      For y = 2 To 25
       For z = 2 To 25
        For u = 2 To 25
        v = 30 - x - y - z - u
        a(1) = 1: a(2) = x: a(3) = y: a(4) = z: a(5) = u: a(6) = v
        a(7) = 1 + x: a(8) = x + y: a(9) = y + z: a(10) = z + u: a(11) = u + v: a(12) = v + 1
        a(13) = 1 + x + y: a(14) = x + y + z: a(15) = y + z + u: a(16) = z + u + v: a(17) = u + v + 1: a(18) = v + 1 + x
        a(19) = 1 + x + y + z: a(20) = x + y + z + u: a(21) = y + z + u + v: a(22) = z + u + v + 1: a(23) = u + v + 1 + x: a(24) = v + 1 + x + y
        a(25) = 31 - 1: a(26) = 31 - x: a(27) = 31 - y: a(28) = 31 - z: a(29) = 31 - u: a(30) = 31 - v
        a(31) = 31
     For i = 1 To n - 1   '从小到大排序
          Min = i
        For j = i + 1 To n
         If a(j) < a(Min) Then Min = j
        Next j
        t = a(i)
       a(i) = a(Min)
       a(Min) = t
     Next i               '排序结束
     
     For i = 1 To n - 1  '从小到大的排序结果中去掉有相同数字的
       If a(i) <= 0 Then GoTo 111         ' 去掉零和负数
       If a(i) = a(i + 1) Then GoTo 111  ' 去掉相同数字
     Next i
       If a(31) = a(1) Then GoTo 111     ' 最后一个与最前一个比较是否相同

  '  对于符合要求的集合，输出计算结果：
     
     Print "k="; Trim(Str(1)); ",x="; Trim(Str(x)); ",y="; Trim(Str(y)); ",z="; Trim(Str(z)); ",u="; Trim(Str(u)); ",v="; Trim(Str(v))
     Print #1, "k="; Trim(Str(1)); ",x="; Trim(Str(x)); ",y="; Trim(Str(y)); ",z="; Trim(Str(z)); ",u="; Trim(Str(u)); ",v="; Trim(Str(v))
     
111: Next u
     Next z
     Next y
     Next x
   
      Close
      End Sub

天山草@

程序运行结果：
k=1,x=2,y=5,z=4,u=6,v=13
k=1,x=2,y=7,z=4,u=12,v=5
k=1,x=3,y=2,z=7,u=8,v=10
k=1,x=3,y=6,z=2,u=5,v=14
k=1,x=5,y=12,z=4,u=7,v=2
k=1,x=7,y=3,z=2,u=4,v=14
k=1,x=10,y=8,z=7,u=2,v=3
k=1,x=13,y=6,z=4,u=5,v=2
k=1,x=14,y=4,z=2,u=3,v=7
k=1,x=14,y=5,z=2,u=6,v=3

【说明】程序给出了 10 个解答，但是其中 5 个是从手串背面观察的，手串翻转过来将与另 5 个解答相同。
因此真正的解答只有 5 组。这 5 组的答案与 fungarwai 的完全一样。

天山草@

上述程序运行时间小于 9 秒钟。

白新岭

这种手串数字表示法最多为n*（n-1）+1个，少于此值有解，多于此值无解。

白新岭

因为手串最多能构成n*（n-1）+1个独立线性方程，在这些方程中未知数只有n个，而方程却多于未知数个数（即便刨去n个未知数），仍然有n^2-2n+1个方程在控制未知数的取值。多于此值时，无法构造出多于此值的方程，所以肯定无解。而少于此值时控制方程个数随不会减少，但取值有了灵活度。

白新岭

由于方程数为n*（n-1）+1，把两个未知数数的加在一起为2*（n*（n-1）+1）；3个的加在一起为3*（n*（n-1）+1），n-1个未知数的加在一起为（n-1）*（n*（n-1）+1），得到的结果都是x1+x2+x3+......+Xn=n*（n-1）+1，这么多方程合并的结果是一个不定方程，所以它有好多解，之所以它的解是有限的，一个是正整数问题，另一个是单个方程又控制其他解，它们都是相互的，只要知道任何一组k个未知数的和值，我们有总值就可以求出每个位置数，关键问题，我们不知道任何一组的值，但是每个解中必须有1，2，因为它们不能有其它的两个整数合成，如果按连续（前边的n-1个值）则最后一个值可以取到最大值n*（n-1）+1-n（n-1）/2=n（n-1）/2+1，这个值也是不能取到的，因为前边的n-1值一定不连续，在就是第二第三大值肯定是有n-1个未知数的和值（这与必有1，2是对称的），除此之外我们在没有其它信息了，总结，有1，2，最大取值小于总表示个数的一半，知道任何一组相同未知数的和就可以确定每个未知数的值。因为未知数方程虽然多于未知数个数很多，但经过加减法合并方程后，实际方程个数与未知数个数相同，所以每种赋值可以确定一种解，最后方程组为nx1+（n-1）x2+（n-2）x3+......+xn=N1

把系数向后一个一个的替换，直到最后一个未知数的系数是n为止，这就是n个方程，它们有唯一解（线性不定方程，未知数个数与方程组中的方程个数一致时）。

白新岭

因为n个数不同，且一定有1，2，所以可以减去2（n-1）+1留下n-2个未知数，由于不同可以求x1+2x2+3x3+.......+(n-2）x（n-2）=n（n-1）+1-2（n-1）-1=n^2-3n+2的正整数解，这里前边的数字是系数，后边的数字是角码它们的解不是太多，然后从此解中再给方程赋值，但是角码值与实际值的大小无关（在此方程中，x（n-2）是最小值，在有x（n-2）+x（n-3）得到第二小值，一次类推，把未知数的值加在一起得到最大值（要同一加2）。然后排除，这里边仍然很难，因为它们不是按大小排序的，而是最优化问题。

王守恩

fungarwai 发表于 2019-2-7 20:05
有這5個解
1 2 5 4 6 13
1 2 7 4 12 5

5 个解，每个解去掉最大一个数，并在此处断开(断开了就不能接回去)，
1 2 5 4 6 13 变成 1 2 5 4 6
1 2 7 4 12 5 变成 4 7 2 1 5
1 3 2 7 8 10 变成 1 3 2 7 8
1 3 6 2 5 14 变成 1 3 6 2 5
1 7 3 2 4 14 变成 1 7 3 2 4
这 5 串数(规定第 1 个数要大于第 5 个数)，好像有点规律。
求助高人：再来几串7个数的解，一并解决问题。

天山草@

七颗珠子的，算了半天，也没出结果。检查程序好像没有明显毛病？ 又好像运行不正常，有死循环？
明天再说吧。

天山草@

至于说为什么 n = 7 颗珠子时，各数字总和是 (n-1)n +1 = 6*7+1=43 呢？
因为 {A1} 中元素有 7 个，{A2} 是相邻数字相加，相加结果也有 7 个，{A3} 是相邻三个数的相加，也是 7 个结果。同样 {A4}、{A5}、{A6} 也各有 7 个结果。以上共有 6*7 =42 个，还有一个是 {A7}，它是所有珠子上数字的和，只有一个结果。因此，共计有  6*7+1=43 个数字。

已知对于 n = 3，4，5，6 都有解。 至于 n ≥ 7 是否都有解呢？ 是个疑问。