数学大厦将倾之：圆面积推导公式的逻辑谬误

elim

门外汉 发表于 2019-2-9 19:52
请问老师一个问题:将圆无限均分，每一个扇形的弧心角是多少度?

没有“无限均分”这么个东东。为了得到圆面积公式，数学也不必”无限均分圆周“。

数学在这件事上怎么弄的，楼主已有介绍。

门外汉

elim 发表于 2019-2-11 00:46
没有“无限均分”这么个东东。为了得到圆面积公式，数学也不必”无限均分圆周“。

数学在这件事上怎么 ...

一个圆，只能被有限均分，不能被无限均分吗?穷竭法不成立?

elim

门外汉 发表于 2019-2-10 19:39
一个圆，只能被有限均分，不能被无限均分吗?穷竭法不成立?

数学基础的进步抛弃了那些似是而非的说法。“无穷均分”听似像模像样，严格地根本无法界说。穷竭法也被极限概念所取代。说到极限，虽然过程说很形象，但在逻辑上不严谨，被 N-ε 极限语言所取代。这些使得数学大厦难以倾之。

门外汉

elim 发表于 2019-2-11 08:29
数学基础的进步抛弃了那些似是而非的说法。“无穷均分”听似像模像样，严格地根本无法界说。穷竭法也被极 ...

那割圆术中的无限分割也是似是而非，无法界说了?

elim

门外汉 发表于 2019-2-11 05:08
那割圆术中的无限分割也是似是而非，无法界说了?

割圆术中没有无限分割，都是有限分割。”无限分割“不过是人们的浮夸说法。

门外汉

elim 发表于 2019-2-11 15:44
割圆术中没有无限分割，都是有限分割。”无限分割“不过是人们的浮夸说法。

既然是有限分割，割到哪一步为止?如果总也停不下来，那不还是在做无限分割?

elim

理论证明使用了变元 n, 2^n 均分。π 的数值计算所需的等分数取决于逼近目标精度。

理论数学在乎圆周率的存在性以及数值算法，误差估计。

计算数学是纯机械操作，没有智力含量。

门外汉

elim 发表于 2019-2-12 04:47
理论证明使用了变元 n, 2^n 均分。π 的数值计算所需的等分数取决于逼近目标精度。

理论数学在乎圆周率 ...

运用割圆术，只要n有限，割出来的便不是圆而是近似于圆的n边形，如果不能做无限分割，怎么能求出圆的周长?

elim

门外汉 发表于 2019-2-12 04:38
运用割圆术，只要n有限，割出来的便不是圆而是近似于圆的n边形，如果不能做无限分割，怎么能求出圆的周长 ...

将割圆术思想用于有限均分变元 n, 可以证明圆的正 2^n 边内接，外切多边形周长序列序列的差趋于0，而圆周长恒介于而序列之间。所以圆周长是这两个序列的共同极限。于是当n 适当大后，正内接多边形周长就是圆周长的满足事先要求的近似值（小数点后k位）。这就是圆周率的数值计算。

所以无论圆周率的存在性和数值计算，都仅涉及有限均分。人们不可能也没有必要具体求出圆周率的十进表达式的每位数值，数值计算的精度没有理论上限，这就足够了。

门外汉

elim 发表于 2019-2-12 14:12
将割圆术思想用于有限均分变元 n, 可以证明圆的正 2^n 边内接，外切多边形周长序列序列的差趋于0，而圆 ...

圆周长是近似值吗?