试证：从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码 9 的项后所得级数收敛，其和不大于 80

elim

王守恩谈谈你的 24 是怎么来的？

王守恩

elim 发表于 2019-2-20 02:08
王守恩谈谈你的 24 是怎么来的？

题：试证 从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码 1 的项后所得级数收敛，其和不大于24.

1位数：8*9^0个数 × 平均数 < 8*9^0 × ln(10)/9*10^0
2位数：8*9^1个数 × 平均数 < 8*9^1 × ln(10)/9*10^1
3位数：8*9^2个数 × 平均数 < 8*9^2 × ln(10)/9*10^2
4位数：8*9^3个数 × 平均数 < 8*9^3 × ln(10)/9*10^3
5位数：8*9^4个数 × 平均数 < 8*9^4 × ln(10)/9*10^4
6位数：8*9^5个数 × 平均数 < 8*9^5 × ln(10)/9*10^5
7位数：8*9^6个数 × 平均数 < 8*9^6 × ln(10)/9*10^6
8位数：8*9^7个数 × 平均数 < 8*9^7 × ln(10)/9*10^7
9位数：8*9^8个数 × 平均数 < 8*9^8 × ln(10)/9*10^8

elim

王守恩 发表于 2019-2-19 17:16
题：试证 从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码 1 的项后所得级数收敛，其和不大于24.

1位数：8*9^0 ...

我的算法把 24 降到了 19.  了解算法的区别了吗？

王守恩

elim 发表于 2019-2-20 09:06
我的算法把 24 降到了 19.  了解算法的区别了吗？

我真不知道 “主贴是一道经典的题目”，我如果知道“主贴是一道经典的题目”，肯定不敢贸然出手了。
15 楼的解法就是基于我还不知道 “主贴是一道经典的题目”，朴素的想法，自然的流露。
14 楼没看懂：无 "1" 调和级数 < 4609/19，......，无 "9" 调和级数 < 761/28，

王守恩

elim 发表于 2019-2-20 09:06
我的算法把 24 降到了 19.  了解算法的区别了吗？

题：试证 从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码 0 的项后所得级数收敛，其和不大于 29。

1位数：9*9^0个数 × 平均数 < 9*9^0 × (ln(10)+y)/9*10^0
2位数：9*9^1个数 × 平均数 < 9*9^1 × (ln(10)+y)/9*10^1
3位数：9*9^2个数 × 平均数 < 9*9^2 × (ln(10)+y)/9*10^2
4位数：9*9^3个数 × 平均数 < 9*9^3 × (ln(10)+y)/9*10^3
5位数：9*9^4个数 × 平均数 < 9*9^4 × (ln(10)+y)/9*10^4
6位数：9*9^5个数 × 平均数 < 9*9^5 × (ln(10)+y)/9*10^5
7位数：9*9^6个数 × 平均数 < 9*9^6 × (ln(10)+y)/9*10^6
8位数：9*9^7个数 × 平均数 < 9*9^7 × (ln(10)+y)/9*10^7
9位数：9*9^8个数 × 平均数 < 9*9^8 × (ln(10)+y)/9*10^8

王守恩

elim 发表于 2019-2-20 09:06
我的算法把 24 降到了 19.  了解算法的区别了吗？

         15 楼解法的补充说明。
从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码 1 的项后所得级数收敛，其和不大于 21.
从 1+1/2+...+1/n+... 中去掉分母含数码 0 的项后所得级数收敛，其和不大于 29.
从 1+1/2+...+1/n+... 中分别去掉分母含数码 2,3,4,5,6,7,8,9 的项后所得级数收敛，其和在 21——29 之间.

elim

设整数 d 大于1 小于 10，以d 为最高位数码的十进制 k 位数有 9^(k-1) 个．
它们的倒数合 < 9^(k-1)/(d×10^(k-1)) = (1/d)(9/10)^(k-1).

故十进表示最高位为d，不含1的正整数的倒数和 ＜ 1/d (1+ (9/10)+ (9/10)^2+(9/10)^3+...) = 10/d.

所以【十进无1调和级数】＜10(1/2+1/3+...+1/9)=4609/252 ＜ 19.

elim

王守恩, 永远 对 20 楼有问题吗？

王守恩

elim 发表于 2019-2-20 16:56
设整数 d 大于1 小于 10，以d 为最高位数码的十进制 k 位数有 9^(k-1) 个．
它们的倒数合 < 9^(k-1)/(d× ...

谢谢elim！

王守恩

elim 发表于 2019-2-21 04:13
王守恩, 永远 对 20 楼有问题吗？

22楼也可以这样。
无 “1” 调和级数：7129 ÷ 252 - 10 ÷ 1 = 18.29
无 “2” 调和级数：7129 ÷ 252 - 10 ÷ 2 = 23.29
无 “3” 调和级数：7129 ÷ 252 - 10 ÷ 3 = 24.96
无 “4” 调和级数：7129 ÷ 252 - 10 ÷ 4 = 25.79
无 “5” 调和级数：7129 ÷ 252 - 10 ÷ 5 = 26.29
无 “6” 调和级数：7129 ÷ 252 - 10 ÷ 6 = 26.62
无 “7” 调和级数：7129 ÷ 252 - 10 ÷ 7 = 26.86
无 “8” 调和级数：7129 ÷ 252 - 10 ÷ 8 = 27.04
无 “9” 调和级数：7129 ÷ 252 - 10 ÷ 9 = 27.18
无 “0” 调和级数：7129 ÷ 252 - 10 ÷ 0 = 28.29