现行数学中实数的十进制和p进制表示

elimqiu

下面引用由denglongshan在 2010/07/19 08:36pm 发表的内容：
期待给我们这些门外汉推荐几本有高中程度就可以读懂的实数论基础读物。

中学里要严格处理实数论比较难。一般满足于引入无理数，然后指出无理数全体，有理数全体合并成为实数全体。这样得到的实数概念没有问题，但没有办法给极限论提供严格的基础。例如无法回答一个递增的有界数列是不是一定存在(实数)极限的问题等等。
我不知道有没有可以让你满意的通俗读物。希望网友们发贴提议。这里有些书多少谈到了实数论的一些方面：
http://www.hudong.com/wiki/%E5%BC%A0%E6%99%AF%E4%B8%AD
高观点下的初等数学
兰佐斯： 无穷无尽的数
初等数学概念演义.pdf

elimqiu

{An} 叫做 Cauchy 列， 如果对任意 ε> 0, 存在 N(ε), 使得 n,m > N(ε) 时
|An - Am| < ε
取 ε=1， 则有某数 m = N(1)+1, 当 n > m 时 |An - Am| < 1. 故 n > m 时 |An| < |Am| + 1
|An| ≤ 1+ max{|A1|,|A2|,…|Am|}
所以{An}有界 即 Cauchy 列 必为有界序列。
令 E = { x | 有无穷多个n 使得 x < An }, 显然 E 非空有上界， 故有最小上界 A (根据实数系的最小上界性)
任给ε> 0， 存在 N(ε/2) 使得 m,n > N(ε/2) 时 |An - Am| <  ε/2
由 A 的取法， 存在 u >  N(ε/2) 使得 0≤A - Au < ε/2
于是 n > N(ε/2) 时有 |An - A|≤ |An -Au| + |Au -A| < ε/2 + ε/2 = ε
lim An = A
n→∞
所以 R 中的 Cauchy 序列必在 R 中收敛 (实数Cauchy 序列有极限，且极限是实数)
想想看，这个定理是不是在说区间里没有空缺点？ 是的！ 这就是所谓的实数的连续性！

elimqiu

这一帖及上一帖才使 2 楼的定义真正有了坚实的基础。

elimqiu

我们还要证明逆命题：任何实数必可表达成 p进制小数。 ( p 是大于 1 的整数 )

申一言

老师您辛苦了！

elimqiu

下面引用由elimqiu在 2010/07/19 08:05pm 发表的内容： 我们还要证明逆命题：任何实数必可表达成 p进制小数。 ( p 是大于 1 的整数 )

给定实数 X > 0, 令 N1 是使得 X - p^k ≥0 的最大整数k. A1 = [X/p^N1], X1 = X-A1p^N1. 假定 N1,...,Nm，A1,...,Am, X1,...,Xm 已经取定. 则 X = A1·p^N1+A2·p^N2+...+Am·p^Nm + Xm， N1> … >Nm, 0≤Av

河马

[这个贴子最后由河马在 2010/07/20 08:51pm 第 2 次编辑]

[fly]阿弥陀佛，祝你功德圆满 阿弥陀佛，祝你功德圆满 阿弥陀佛，祝你功德圆满 阿弥陀佛，祝你功德圆满 阿弥陀佛，祝你功德圆满[/fly]

elimqiu

还有一些有关的问题。例如 p进制数到 q进数的转换， 有理数不能表为有限p进小数的条件等等。

denglongshan

十进制中的素数在其它进制中还是素数吗？

elimqiu

下面引用由denglongshan在 2010/07/20 10:19pm 发表的内容：
十进制中的素数在其它进制中还是素数吗？

数的整除性与数的表达无关。所以由一种进制表示的数若是素数，用其它进制表示后还是素数