[原创]求x+y+z=2011的正整数解x,y,z无因子2，3，5，7

zhaolu48 · 发表于 2010-8-7 15:31

用VF9.0可以很容易地得到1-2011中不含2,3,5,7的自然数如下(39行12列)：
   1 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103
107 109 113 121 127 131 137 139 143 149 151 157
163 167 169 173 179 181 187 191 193 197 199 209
211 221 223 227 229 233 239 241 247 251 253 257
263 269 271 277 281 283 289 293 299 307 311 313
317 319 323 331 337 341 347 349 353 359 361 367
373 377 379 383 389 391 397 401 403 407 409 419
421 431 433 437 439 443 449 451 457 461 463 467
473 479 481 487 491 493 499 503 509 517 521 523
527 529 533 541 547 551 557 559 563 569 571 577
583 587 589 593 599 601 607 611 613 617 619 629
631 641 643 647 649 653 659 661 667 671 673 677
683 689 691 697 701 703 709 713 719 727 731 733
737 739 743 751 757 761 767 769 773 779 781 787
793 797 799 803 809 811 817 821 823 827 829 839
841 851 853 857 859 863 869 871 877 881 883 887
893 899 901 907 911 913 919 923 929 937 941 943
947 949 953 961 967 971 977 979 983 989 991 997
  1003  1007  1009  1013  1019  1021  1027  1031  1033  1037  1039  1049
  1051  1061  1063  1067  1069  1073  1079  1081  1087  1091  1093  1097
  1103  1109  1111  1117  1121  1123  1129  1133  1139  1147  1151  1153
  1157  1159  1163  1171  1177  1181  1187  1189  1193  1199  1201  1207
  1213  1217  1219  1223  1229  1231  1237  1241  1243  1247  1249  1259
  1261  1271  1273  1277  1279  1283  1289  1291  1297  1301  1303  1307
  1313  1319  1321  1327  1331  1333  1339  1343  1349  1357  1361  1363
  1367  1369  1373  1381  1387  1391  1397  1399  1403  1409  1411  1417
  1423  1427  1429  1433  1439  1441  1447  1451  1453  1457  1459  1469
  1471  1481  1483  1487  1489  1493  1499  1501  1507  1511  1513  1517
  1523  1529  1531  1537  1541  1543  1549  1553  1559  1567  1571  1573
  1577  1579  1583  1591  1597  1601  1607  1609  1613  1619  1621  1627
  1633  1637  1639  1643  1649  1651  1657  1661  1663  1667  1669  1679
  1681  1691  1693  1697  1699  1703  1709  1711  1717  1721  1723  1727
  1733  1739  1741  1747  1751  1753  1759  1763  1769  1777  1781  1783
  1787  1789  1793  1801  1807  1811  1817  1819  1823  1829  1831  1837
  1843  1847  1849  1853  1859  1861  1867  1871  1873  1877  1879  1889
  1891  1901  1903  1907  1909  1913  1919  1921  1927  1931  1933  1937
  1943  1949  1951  1957  1961  1963  1969  1973  1979  1987  1991  1993
  1997  1999  2003

zhaolu48 · 发表于 2010-8-7 16:15

用下面程序
CLEAR ALL
CLEAR
SET TALK OFF
sja=TIME()
DIMENSION a(459,1),b(459),d(3)
SELECT 1
USE sjk
COPY TO ARRAY a
ACOPY(a,b)
SELECT 2
USE sjc
DELETE ALL
PACK
k=0
FOR i=1 TO 458
FOR j=1 TO 458
s=b(i)+b(j)
c=2011-s
IF c<=0
EXIT
ELSE
SELECT 1
LOCATE FOR sj=c
IF RECNO()<=459
k=k+1
SELECT 2
APPEND BLANK
REPLACE xa WITH b(i),xb WITH b(j),xc WITH c
ENDIF
ENDIF
endf
endf
sjb=TIME()
?sja,'; ';,sjb
计算15秒钟得到满足条件的解共有55590个
并且把所有解储存在一个数据库内。

zhaolu48 · 发表于 2010-8-8 00:29

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/08/08 00:40am 第 3 次编辑]

其中满足x=y或y=z，且x≤y≤z的有如下72组
x y z
19  19  1973
31  31  1949
37  37  1937
61  61  1889
67  67  1877
79  79  1853
97  97  1817
109 109 1793
121 121 1769
139 139 1733
151 151 1709
157 157 1697
181 181 1649
187 187 1637
199 199 1613
229 229 1553
241 241 1529
247 247 1517
271 271 1469
277 277 1457
289 289 1433
307 307 1397
319 319 1373
331 331 1349
349 349 1313
361 361 1289
367 367 1277
391 391 1229
397 397 1217
409 409 1193
439 439 1133
451 451 1109
457 457 1097
481 481 1049
487 487 1037
499 499 1013
517 517 977
529 529 953
541 541 929
559 559 893
571 571 869
577 577 857
601 601 809
607 607 797
619 619 773
649 649 713
661 661 689
667 667 677
17  997 997
29  991 991
53  979 979
89  961 961
113 949 949
137 937 937
173 919 919
197 907 907
209 901 901
257 877 877
269 871 871
293 859 859
353 829 829
377 817 817
389 811 811
437 787 787
449 781 781
473 769 769
509 751 751
533 739 739
557 727 727
593 709 709
617 697 697
629 691 691

白新岭 · 发表于 2010-8-8 11:01

下面引用由zhaolu48在 2010/08/07 04:15pm 发表的内容：
用下面程序
CLEAR ALL
CLEAR
SET TALK OFF
...

最后结果正确。请验证一下20111有多少组。MOD(20111,210)=161,t=INT((20111-1)/210)=95.
161→1170*t^2→1830*t→726三项和除2=5366913

zhaolu48 · 发表于 2010-8-8 15:12

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/08/08 03:17pm 第 1 次编辑]

为了节省时间，用下面程序计算，
得到的只是，x≤y≤z的结果
　　其中sjk.dbf只有一个字段“sj”，
　　用如下几个命令就可以得到1-20111间的所有不含2,3,5,7因子的自然数：
　　DIMENSION a(20109,1)
　　a=';';
　　APPEND FROM arra a
　　REPLACE ALL sj WITH RECNO()
　　DELETE FOR MOD(sj,3)=0
　　DELETE FOR MOD(sj,5)=0
　　DELETE FOR MOD(sj,7)=0
　　DELETE FOR MOD(sj,2)=0
　　PACK
　　得到sjk.dbf只有4596条记录，即1-20111之间不含2,3,5,7的自然数只有4596个。
CLEAR ALL
CLEAR
SET TALK OFF
sja=TIME()
DIMENSION a(4596,1),b(4596)
USE sjk
COPY TO ARRAY a
ACOPY(a,b)
k=0
FOR i=1 TO 1533
FOR j=i TO 4595
s=b(i)+b(j)
c=2011-s
IF c<=0
EXIT
ELSE
LOCATE FOR sj=c
IF RECNO()<=4596
k=k+1
ENDIF
ENDIF
endf
endf
?k
sjb=TIME()
?sja,'; ';,sjb
用此程序计算的结果为：　27831
用时55秒。

zhaolu48 · 发表于 2010-8-8 19:01

27831解当中，x=y 或 y=z　的解是96个
因此全部解应当是
(27831-96)*6+96*3=166698个

白新岭 · 发表于 2010-8-8 20:33

下面引用由zhaolu48在 2010/08/08 03:12pm 发表的内容：
为了节省时间，用下面程序计算，
得到的只是，x≤y≤z的结果
　　其中sjk.dbf只有一个字段“sj”，
　　用如下几个命令就可以得到1-20111间的所有不含2,3,5,7因子的自然数：
...

有20111*（1-1/2）*（1-1/3）*（1-1/5）*（1-1/7）=4596.8，可以知道满足条件的自然数为4596个（不大于20111）。
有近似求解公式=调节系数*符合条件的元素个数^m/N/(m-1)!, (m为不定方程的未知数个数，这里m=3,后边是m的阶乘）。
合成方法：对于一组互质条件下，三元不定方程来说，每个条件有p-1种余数，余数的3维合成有
(p-1)^3种方法，分别落到P种余数上，因为总方法为：P^3-3*P^2+3*P-1种，此数除P,少一种方法不能
均分，当P≥3时，除不尽的占P-1种余数，大于或等于2，而且这些余数处于同一地位（在群中可以
相互置换，都有与本身不同的逆元），所以除尽的（只有一类）与除不尽的扮演不同的角色，
这样少的一种方法肯定是在整除类上，所以能整除的占P^2-3P+2种方法，不能整除的其余P-1类各占
P^2-3P+3种方法，调节系数=P*对应的合成方法/总合成方法，即系数=P*(P^2-3P+3)/(P-1)^3,不能整
除，能整除的系数=P*(P^2-3P+2)/(P-1)^3；整理后，系数=1+1/（P-1)^3,(不能整除）；
系数=P(P-2)/(P-1)^2=(P^2-2P)/（P-1)^2=1-1/（P-1)^2,(能整除）。
根据上述分析，20111不能整除2,3,5；20111能整除7，所以其综合系数=2.22167969
渐进公式=调节系数*符合条件元素个数^m/n/(m-1)!=2.22167969*4596^3/20111/2=5362383组
与实际组数（5366913）比较，差4530组，相对误差0.000844061，如果用20111*（1-1/2）*（1-1/3）*
（1-1/5）*（1-1/7）=4596.8代替4596，则渐进公式的值=5365183，与实际相差1730组，相对
误差0.000322345 ，所以用渐进公式获得的近似值与实际值相对误差可以趋近于0（随N的增大）。
zhaolu先生给的27831，相差悬殊，不敢认同，即便改成排列数，27831*3！=27831*6=166986组，仅占实际的3.1%

白新岭 · 发表于 2010-8-8 20:57

此题的目的是引导大家对拉曼扭扬系数及哈代-李特伍渐进公式的认识，和奇数歌猜的渐进公式的纠错（不知是传播过程中的失真，还是哈代-李特伍对奇数歌猜渐进公式有特殊规定），在渐进公式中，调节系数是含素数2的，对于单条件2来说，其调节系数不是2就是0，无其他选择。而公式中除以(m-1)！是与条件无关的，只与不定方程未知数个数相关的量。因为条件2的调节系数与未知数m-1的阶乘相互抵消，所以奇数歌猜=综合调节系数*素数个数^3/n,(综合调节系数中不含2的调节系数），即条件P为大于或等于3，小于或等于√n.

zhaolu48 · 发表于 2010-8-9 10:51

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/08/09 11:05am 第 2 次编辑]

程序一个地方未修改
应当是，c=20111-s
可我仍用的是2011-s
还有一个地方，
应是：
if c<b(j)
exit
endi
用修改后的程序计算得
x≤y≤z 的解共　894916　个，其中x=y或y=z的解有861个
因此总解数应为
(894916-861)*6+861*3=5366913个
用时为41分49秒。
是原来166698的32.2倍
5366913-5362383=4530
5366913/5362383=1.0008448
只比楼主的结果多不足万分之8.5，可谓两结果非常相近。
不过我自信还是5366913的结果是准确的。

白新岭 · 发表于 2010-8-9 12:32

"不过我自信还是5366913的结果是准确的。"
结果正确无误（在18楼中有“与实际组数（5366913）比较，差4530组”）
你所比较的是用渐进公式得到的值。

		自动登录	找回密码
密码			注册