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发表于 2015-8-15 02:49
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本帖最后由 fmcjw 于 2015-8-27 06:39 编辑
由方程X^2+Y^2=Z^2的陈氏解：
X=a+(2ab)^1/2,
｛ Y=b+(2ab)^1/2,
Z=a+b+(2ab)^1/2。
我们可以得到两个重要的关于正整数域内的解：
X=(2n+1)k,
(1) Y=(2n^2+2n)k,
Z=(2n^2+2n+1)k.
(2) X=(2n+2)k
Y=(n^2+2n)k,
Z=(n^2+2n+2)k.
由解（1），（2）可知，对于大于1的所有奇数和大于2的所有偶数，每一个奇数和偶数x都有对应的两个自然数y,z与之组成x,y,z数组，使得x,y,z满足X^2+Y^2=Z^2。由于奇数和偶数的个数无穷多，故X^2+Y^2=Z^2的正整数解有无穷多个！这就直观明白地给出了费马大定理的第一个结论（n=2,X^n+Y^n=Z^n有无穷多个正整数解！）。
根据数的拆分法，对于费马定理是不是所有正整数的n次幂数都不能分为两个同次幂数的和呢？下面我们就从这个思路出发来讨论费马定理的第二个结论是否成立。
由不定方程x^2+y^2=z^2的陈氏解
X=(2n+1)k,
(1) Y=(2n^2+2n)k,
Z=(2n^2+2n+1)k.
X=(2n+2)k
（2） Y=(n^2+2n)k,
Z=(n^2+2n+2)k.
可知，(2n^2+2n+1)^2可以分成(2n+1)^2与(2n^2+2n)^2的和以及(n^2+2n+2)^2可以分成(2n+2)^2与(n^2+2n)^2的和，由于我们已经证明解(1) ，（2）不满足x^n+y^n=z^n（n>2)，即(2n^2+2n+1)^n和(n^2+2n+2)^n不能拆分为两个同次幂数的和，那么其他的正整数有没有可能拆分为两个同次幂数的和呢？以n=3为例，有没有A,B,C的正整数组满足A^3+B^3=C^3呢？显然若A^3+B^3=C^3则（C>A,C>B,A=/=B),设A=(2n+1)为A,B,C中最小一个，则A就是大于1的奇数，又因C>A则令C=2n+3,则C 就是大于5的奇数。(当然也可令C=2n+5，2n+7,等等，但2n+5，2n+7等显然已经包含在2n+3中了，只不过增大了C的最小一个数值而已）。
A^3+B^3=C^3
就变成
(2n+1)^3+B^3=[(2n+1)+2]^3 (q)
由(q)可知 (2n+1)，B，[(2n+1)+2]三数就属于解(1) ，（2）以外的其他的正整数，(q)中的B若也是正整数则说明A^3+B^3=C^3成立，费马定理就不成立。由(q)有
(2n+1)^3+B^3=[(2n+1)+2]^3
=(2n+1)^3+3(2n+1)^2*2+3(2n+1)*2^2+2^3
= A^3+3(2n+1)^2*2+3(2n+1)*2^2+2^3
=A^3+6(2n+1)^2+12(2n+1)+2^3
所以有
B^3 =6(2n+1)^2+12(2n+1)+2^3
=2[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]
即 B=2^1/3[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]^1/3
在2^1/3[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]^1/3中只有当[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]等于2^3m-1时2^1/3[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]^1/3即B才等于正整数！但是因为3(2n+1)^2是奇数，所以[3(2n+1)^2+6(2n+1)+2^2]恒为奇数，不可能等于2^3m-1！因此B恒为无理数。
因2^1/3为无理数，所以，任一大于三的奇数的三次幂数都不可能分成两个三次幂数的和！同理可证，任一大于4的偶数的三次幂数也不可能分成两个三次幂数的和！所以费马大定理得证成立！
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发表于 2015-8-15 15:31