【转载】一道数学游戏(数论方面)

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/08/18 11:45am 第 1 次编辑]

下面引用由trx在 2010/08/18 11:16am 发表的内容：
再次提醒陆老师，在几何作图中（甚至在代数论理中），任何一长度量（或任何一大物理量）都可视为整数1来作讨论的！！！
   因此本命题中的整数必为三边之长相对而言，则勾股原理可解此困！！
   敬请陆老师三思　...

你这样理解当然也可以。就是对本题再加上一个限制条件:

所求的 a,b,c 的关系式，必须是齐次的，即必须有 f(a,b,c)=f(ka,kb.kc)=0 ，
也就是说，式子中 a,b,c 同时乘以任何一个常数 k ，关系式仍然要成立。

按照这个新加上去的条件，a^2*b^2=3c^2 就不符合要求了,因为 a,b,c 同时乘以
一个常数 k 后，(ka)^2*(kb)^2=k^4*(a^2*b^2)=k^4*(3c^2)≠3(kc)^2 。
但是，a^3+b^3=c^3 还是符合要求的，因为 a,b,c 同时乘以任何一个常数 k 后，
仍有 (ka)^3+(kb)^3=k^3(a^3+b^3)=k^3*c^3=(kc)^3 ，关系式仍成立。

trx

当把√3视为一个单位量1，则为整数，不是此命题所求！！

luyuanhong

下面引用由trx在 2010/08/18 11:50am 发表的内容：
当把√3视为一个单位量1，则为整数，不是此命题所求！！

其实，你的意思就是说，如果 a,b,c 都乘以 1/√3 ，就不再满足这个关系式了。
但问题是：在这一题原来的题意中，允许不允许 a,b,c 都乘以一个任意常数？
如果这一题的条件中，允许 a,b,c 都乘以一个常数，要求 a,b,c 乘以一个常数 k 后，
关系式仍要成立，而且要求这个关系式没有正整数解，那么你意见，当然是对的。

trx

敬请陆老师以本人6楼为基础作一满足此命题之正确之解！

luyuanhong

下面引用由trx在 2010/08/18 03:39pm 发表的内容：
敬请陆老师以本人6楼为基础作一满足此命题之正确之解！

你在第 6 楼中的说法肯定是不对的，我在第 7 楼中已经举了一个反例。

trx

陆老师,你还没有明白我的意识，我是说除了勾3股4及相应的m^2-n^2 ，2mn 外，我6楼必都满足此命题之正确之解！但本人不知如何去述说！