基础对称性问题的研究 numblocology

非常数1

非常数1 发表于 2015-10-5 12:32
一般认为，根据相同规律， 对128点的对称几何图，可以用表T15-可以做出跳读取数隔3（gap=3)的图，那么（gap ...

T16表（128）foldup gap 3-128元素 省略画圆形 而直接勾连 相反数 比如127和0
可证明是对称均匀的 见图L-2

98        127        62        32        48        126        125        64        96        124        123        ,0        65        121        119        1
                                                                                                                       
2        115        110        3        4        103        92        6        8        78        57        12        17        28        114        24
                                                                                                                       
35        56        101        49        70        112        75        99        13        97        23        71        26        67        46        15
                                                                                                                       
52        7        93        30        104        14        58        60        81        29        117        120        34        59        106        113
                                                                                                                       
69        118        85        98        10        109        43        68        21        90        87        9        42        53        47        18
                                                                                                                       
84        107        94        37        40        86        61        74        80        44        122        20        33        89        116        41
                                                                                                                       
66        51        105        83        5        102        82        38        11        77        36        76        22        27        73        25
                                                                                                                       
45        55        19        50        91        111        39        100        54        95        79        72        108        63        31        16
                                                                                                                       

,
图L-2

非常数1

先得到一个符合 first test 而不算太对称的 128图 将画成 图N-1
以下是一个128元素的出发表：，可以得到foldup的大圈几何图的新表T19。
T18表link 8-9
Gap5 表T18-128元素 (已经排成4分部的表每个部分是32元素的小循环 32x4=128 link为两64即可排 gap=5的表 T18a)
0        0        1        1        1        0        1        1        1        0        0        1        0        1        1        1
0        1        1        1        0        1        1        1        0        0        1        0        1        1        1        0
1        1        1        0        1        1        1        0        0        1        0        1        1        1        0        1
1        1        0        1        1        1        0        0        1        0        1        1        1        0        1        0
1        0        1        1        1        0        0        1        0        1        1        1        0        1        0        1
0        1        1        1        0        0        1        0        1        1        1        0        1        0        1        0
1        1        1        0        0        1        0        1        1        1        0        1        0        1        0        1
29        59        119        110        92        57        114        101        75        23        46        93        58        117        106        85
                                                                                                                        未
0        1        0        1        0        1        1        1        1        0        1        0        0        1        0        0
1        0        1        0        1        1        1        1        0        1        0        0        1        0        0        1
0        1        0        1        1        1        1        0        1        0        0        1        0        0        1        1
1        0        1        1        1        1        0        1        0        0        1        0        0        1        1        1
0        1        1        1        1        0        1        0        0        1        0        0        1        1        1        1
1        1        1        1        0        1        0        0        1        0        0        1        1        1        1        1
1        1        1        0        1        0        0        1        0        0        1        1        1        1        1        0
43        87        47        94        61        122        116        105        82        36        73        19        39        79        31        62
                                                                                                                       
1        1        1        1        1        0        1        1        0        1        0        1        1        0        0        1
1        1        1        1        0        1        1        0        1        0        1        1        0        0        1        1
1        1        1        0        1        1        0        1        0        1        1        0        0        1        1        0
1        1        0        1        1        0        1        0        1        1        0        0        1        1        0        1
1        0        1        1        0        1        0        1        1        0        0        1        1        0        1        1
0        1        1        0        1        0        1        1        0        0        1        1        0        1        1        1
1        1        0        1        0        1        1        0        0        1        1        0        1        1        1        1
125        123        118        109        90        53        107        86        44        89        51        102        77        27        55        111
                                                                                                                       
1        0        1        1        1        1        1        1        1        0        0        1        1        1        0        0
0        1        1        1        1        1        1        1        0        0        1        1        1        0        0        0
1        1        1        1        1        1        1        0        0        1        1        1        0        0        0        0
1        1        1        1        1        1        0        0        1        1        1        0        0        0        0        1
1        1        1        1        1        0        0        1        1        1        0        0        0        0        1        1
1        1        1        1        0        0        1        1        1        0        0        0        0        1        1        1
1        1        1        0        0        1        1        1        0        0        0        0        1        1        1        0
95        63        127        126        124        121        115        103        78        28        56        112        97        67        7        14
                                                                                                                       




下表（联合）T15-128元素
1        1        0        0        0        1        0        0        0        1        1        0        1        0        0        0
1        0        0        0        1        0        0        0        1        1        0        1        0        0        0        1
0        0        0        1        0        0        0        1        1        0        1        0        0        0        1        0
0        0        1        0        0        0        1        1        0        1        0        0        0        1        0        1
0        1        0        0        0        1        1        0        1        0        0        0        1        0        1        0
1        0        0        0        1        1        0        1        0        0        0        1        0        1        0        1
0        0        0        1        1        0        1        0        0        0        1        0        1        0        1        0
98        68        8        17        35        70        13        26        52        104        81        34        69        10        21        42
                                                                                                                       
1        0        1        0        1        0        0        0        0        1        0        1        1        0        1        1
0        1        0        1        0        0        0        0        1        0        1        1        0        1        1        0
1        0        1        0        0        0        0        1        0        1        1        0        1        1        0        0
0        1        0        0        0        0        1        0        1        1        0        1        1        0        0        0
1        0        0        0        0        1        0        1        1        0        1        1        0        0        0        0
0        0        0        0        1        0        1        1        0        1        1        0        0        0        0        0
0        0        0        1        0        1        1        0        1        1        0        0        0        0        0        1
84        40        80        33        66        5        11        22        45        91        54        108        98        48        96        65
                                                                                                                       
0        0        0        0        0        1        0        0        1        0        1        0        0        1        1        0
0        0        0        0        1        0        0        1        0        1        0        0        1        1        0        0
0        0        0        1        0        0        1        0        1        0        0        1        1        0        0        1
0        0        1        0        0        1        0        1        0        0        1        1        0        0        1        0
0        1        0        0        1        0        1        0        0        1        1        0        0        1        0        0
1        0        0        1        0        1        0        0        1        1        0        0        1        0        0        0
0        0        1        0        1        0        0        1        1        0        0        1        0        0        0        0
2        4        9        18        37        74        20        41        83        38        76        25        50        100        72        16
                                                                                                                       
0        1        0        0        0        0        0        0        0        1        1        0        0        0        1        1
1        0        0        0        0        0        0        0        1        1        0        0        0        1        1        1
0        0        0        0        0        0        0        1        1        0        0        0        1        1        1        1
0        0        0        0        0        0        1        1        0        0        0        1        1        1        1        0
0        0        0        0        0        1        1        0        0        0        1        1        1        1        0        0
0        0        0        0        1        1        0        0        0        1        1        1        1        0        0        0
0        0        0        1        1        0        0        0        1        1        1        1        0        0        0        1
32        64        ,0        1        3        6        12        24        49        99        71        15        30        60        120        113
                                                                                                                       
tu

非常数1

非常数1 发表于 2015-10-8 15:35
先得到一个符合 first test 而不算太对称的 128图 将画成 图N-5
以下是一个128元素的出发表：，可以得到fo ...

下面把 T18a画出来。可排 gap=5的表 T18a)-
1        1        0        1        1        0        0        0        0        0        1        1        1        0        1        1
0        0        0        0        1        1        1        0        1        1        1        0        1        1        0        1
1        0        1        1        1        0        1        1        0        1        0        0        1        0        0        0
1        1        0        1        0        0        1        0        0        0        0        0        1        0        1        1
1        0        0        0        0        0        1        0        1        1        1        1        1        0        1        1
1        0        1        1        1        1        1        0        1        1        0        1        1        0        1        0
1        0        1        1        0        1        1        0        1        0        1        0        1        0        1        0
95        72        19        91        114        35        63        16        39        54        101        70        127        32        79        108
                q                y        ,                                                                s               
1        0        1        1        0        1        0        0        1        0        0        0        0        0        1        0
0        0        1        0        0        0        0        0        1        0        1        1        1        1        1        0
0        0        1        0        1        1        1        1        1        0        1        1        0        1        1        0
1        1        1        0        1        1        0        1        1        0        1        0        1        0        1        0
0        1        1        0        1        0        1        0        1        0        1        0        1        1        0        0
1        0        1        0        1        0        1        1        0        0        1        0        1        0        0        0
1        1        0        0        1        0        1        0        0        0        0        0        0        0        1        1
75        13        126        64        31        98        23        26        124        ,0        62        48        46        52        121        1
                                                                                                                       
1        1        1        1        1        0        1        1        0        1        1        0        1        0        1        0
1        1        0        1        1        0        1        0        1        0        1        0        1        0        1        1
1        0        1        0        1        0        1        0        1        1        0        0        1        0        1        0
1        0        1        1        0        0        1        0        1        0        0        0        0        0        0        0
1        0        1        0        0        0        0        0        0        0        1        1        1        0        1        0
0        0        0        0        1        1        1        0        1        0        1        1        1        1        0        1
1        0        1        0        1        1        1        1        0        1        1        0        0        0        1        0
125        96        93        104        115        3        123        65        58        81        103        6        118        2        117        34
                                                                                                        c               
1        0        1        0        1        1        0        0        1        0        1        0        0        0        0        0
0        0        1        0        1        0        0        0        0        0        0        0        1        1        1        0
0        0        0        0        0        0        1        1        1        0        1        0        1        1        1        1
1        1        1        0        1        0        1        1        1        1        0        1        1        0        0        0
1        1        1        1        0        1        1        0        0        0        1        0        0        0        1        0
1        0        0        0        1        0        0        0        1        0        0        1        0        0        0        1
0        0        1        0        0        1        0        0        0        1        1        0        0        1        1        0
78        12        109        4        106        69        28        24        90        9        85        10        56        49        53        18
                                                                                w                                       




下表（联合）T18a-128元素
0        0        1        1        1        0        1        0        1        1        1        1        0        1        1        0
1        0        1        1        1        1        0        1        1        0        0        0        1        0        0        0
0        1        1        0        0        0        1        0        0        0        1        0        0        1        0        0
1        0        0        0        1        0        0        1        0        0        0        1        1        0        0        1
0        1        0        0        0        1        1        0        0        1        1        0        1        1        0        1
1        0        0        1        1        0        1        1        0        1        1        1        1        0        1        1
1        1        0        1        1        1        1        0        1        1        0        0        1        0        1        1
43        21        112        99        107        37        87        42        97        71        86        74        47        84        67        15
b        ,,        x                n                                                                                       
0        0        1        0        0        0        1        0        0        1        0        0        0        1        1        0
1        0        0        1        0        0        0        1        1        0        0        1        1        0        1        1
0        1        1        0        0        1        1        0        1        1        0        1        1        1        1        0
1        0        1        1        0        1        1        1        1        0        1        1        0        0        1        0
1        1        1        0        1        1        0        0        1        0        1        1        0        0        0        0
0        0        1        0        1        1        0        0        0        0        1        0        1        1        1        0
0        0        0        0        1        0        1        1        1        0        0        0        1        1        0        1
44        20        94        40        7        30        89        41        61        80        14        60        51        83        122        33
                                                                                                                       
0        1        1        0        1        1        0        1        1        1        1        0        1        1        0        0
0        1        1        1        1        0        1        1        0        0        1        0        1        1        0        0
1        1        0        0        1        0        1        1        0        0        0        0        1        0        1        1
1        1        0        0        0        0        1        0        1        1        1        0        0        0        1        1
1        0        1        1        1        0        0        0        1        1        0        1        1        0        0        0
0        0        1        1        0        1        1        0        0        0        0        0        1        1        1        0
1        0        0        0        0        0        1        1        1        0        1        1        1        0        1        1
29        120        102        38        116        66        59        113        77        76        105        5        119        98        27        25
z                                                                                                                       
1        0        1        1        0        0        0        0        1        0        1        1        1        0        0        0
0        0        1        0        1        1        1        0        0        0        1        1        0        1        1        0
1        0        0        0        1        1        0        1        1        0        0        0        0        0        1        1
0        1        1        0        0        0        0        0        1        1        1        0        1        1        1        0
0        0        1        1        1        0        1        1        1        0        1        1        0        1        0        0
1        1        1        0        1        1        0        1        0        0        1        0        0        0        0        0
0        1        0        0        1        0        0        0        0        0        1        0        1        1        1        1
82        11        110        68        55        50        36        22        92        8        111        100        73        45        57        17
                                                                                lt                                       
图N-5



T18a)-test
1        1        0        1        1        0        0        0        0        0        1        1        1        0        1        1
0        0        0        0        1        1        1        0        1        1        1        0        1        1        0        1
1        0        1        1        1        0        1        1        0        1        0        0        1        0        0        0
1        1        0        1        0        0        1        0        0        0        0        0        1        0        1        1
1        0        0        0        0        0        1        0        1        1        1        1        1        0        1        1
1        0        1        1        1        1        1        0        1        1        0        1        1        0        1        0
1        0        1        1        0        1        1        0        1        0                                               
95        72        19        91        114        35        63        16        39        54        101        70        127        32        79        108
                q                y        ,                                                                s               
1        0        1        1        0        1        0        0        1        0        0        0        0        0        1        0
0        0        1        0        0        0        0        0        1        0        1        1        1        1        1        0
0        0        1        0        1        1        1        1        1        0        1        1        0        1        1        0
1        1        1        0        1        1        0        1        1        0        1        0        1        0        1        0
0        1        1        0        1        0        1        0        1        0                                               
                                                                                                                       
                                                                                                                       
75        13        126        64        31        98        23        26        124        ,0        62        48        46        52        121        1
                                                                                                                       
1        1        1        1        1        0        1        1        0        1        1        0        1        0        1        0
1        1        0        1        1        0        1        0        1        0        1        0        1        0        1        1
1        0        1        0        1        0        1        0        1        1                                               

非常数1

常见步骤：先让32元素的例子展示一下：
32元素的图的建造，从表一开始：
表1：这32数作二进制表达并排成的上下镜象图

1        1        1        1        1        0        0        1        0        0        0        1        0        1        0        0
1        1        1        1        0        0        1        0        0        0        1        0        1        0        0        1
1        1        1        0        0        1        0        0        0        1        0        1        0        0        1        1
1        1        0        0        1        0        0        0        1        0        1        0        0        1        1        1
1        0        0        1        0        0        0        1        0        1        0        0        1        1        1        1
31        30        28        25        18        4        8        17        2        5        10        20        9        19        7        15
                                                                                                                       
0        0        0        0        0        1        1        0        1        1        1        0        1        0        1        1
0        0        0        0        1        1        0        1        1        1        0        1        0        1        1        0
0        0        0        1        1        0        1        1        1        0        1        0        1        1        0        0
0        0        1        1        0        1        1        1        0        1        0        1        1        0        0        0
0        1        1        0        1        1        1        0        1        0        1        1        0        0        0        0
0        1        3        6        13        27        23        14        29        26        21        11        22        12        24        16
                                                                                                                       






32

1初稿序
1        0        0        0        0        0        1        1        1        1        1        0        0        1        1        0
0        0        0        0        0        1        1        1        1        1        0        0        1        1        0        1
0        0        0        0        1        1        1        1        1        0        0        1        1        0        1        1
0        0        0        1        1        1        1        1        0        0        1        1        0        1        1        0
0        0        1        1        1        1        1        0        0        1        1        0        1        1        0        0
16        0        1        3        7        15        31        30        28        25        19        6        13        27        22        12
                                                                                                                       
1        1        0        0        0        1        0        1        1        1        0        1        0        1        0        0
1        0        0        0        1        0        1        1        1        0        1        0        1        0        0        1
0        0        0        1        0        1        1        1        0        1        0        1        0        0        1        0
0        0        1        0        1        1        1        0        1        0        1        0        0        1        0        0
0        1        0        1        1        1        0        1        0        1        0        0        1        0        0        0
24        17        2        5        11        23        14        29        26        21        10        20        9        18        4        8
                                                                                                                       

2核心（01 core string) 为二进制数
1        0        0        0        0        0        1        1        1        1        1        0        0        1        1        0
1        1        0        0        0        1        0        1        1        1        0        1        0        1        0        0
3在核心上作检验(第一步隔三格跳后取数,在5行数的底部=第6行写上此列的十进制数)
1        0        0        0        0        0        1        1        1        1        1        0        0        1        1        0
0        0        1        1        1        1        1        0        0        1        1        0                               
1        1        1        0        0        1        1        0        1        1        0        0        0                       
0        1        1        0        1        1        0        0        0                                                       
1        1        0        0        0        1                                                                               
21        7        14        8        10        15                                                                               
                                                                                                                       
1        1        0        0        0        1        0        1        1        1        0        1        0        1        0        0
0        1        0        1        1        1        0        1        0        1        0        0        1                       
1        1        0        1        0        1        0        0        1                                                       
0        1        0        0        1                                                                                       
1                                                                                                                       
21        31                                                                                                               
                                                                                                                       
                                                                                                                       
4查是否重复(第6行十进制数是否一样)
1        0        0        0        0        0        1        1        1        1        1        0        0        1        1        0
0        0        1        1        1        1        1        0        0        1        1        0        1        1        0        0
1        1        1        0        0        1        1        0        1        1        0        0        0        1        0        1
0        1        1        0        1        1        0        0        0        1        0        1        1        1        0        1
1        1        0        0        0        1        0        1        1        1        0        1        0        1        0        0
21        7        14        8        10        15        28        17        21        31        28                                       
same                                                                                                                       
1        1        0        0        0        1        0        1        1        1        0        1        0        1        0        0
0        1        0        1        1        1        0        1        0        1        0        0        1                       
1        1        0        1        0        1        0        0        1                                                       
0        1        0        0        1                                                                                       
1                                                                                                                       
21        31                                                                                                               
same                                                                                                                       
                                                                                                                       
Same is not good此例因为出现21为重复的数 所以无效（没全枚举），不要用。
The good one is below:下面是可用的例子
1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1
1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0
0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1
1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1
21 19 5 3 11 7 10 6 23 14 20 13 15 28 8 27
1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0
1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0
1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
31 25 16 22 30 18 0 12 29 4 1 24 26 9 2 17




按上述数 核心序列（01 core string）也进行检验:
1        1        0        0        0        0        0        0        1        0        1        0        0        1        0        1
0        0        0        0        1        0        1        0        0        1        0        1        1        1        1        1
1        0        1        0        0        1        0        1        1        1        1        1        1        1        0        0
0        1        0        1        1        1        1        1        1        1        0        0        1        0        0        1
1        1        1        1        1        1        0        0        1        0        0        1        1        0        0        1
21        19        5        3        11        7        10        6        23        14        20        13        15        28        8        27
                                                                                                                       
1        1        1        1        1        1        0        0        1        0        0        1        1        0        0        1
1        1        0        0        1        0        0        1        1        0        0        1        1        1        0        0
1        0        0        1        1        0        0        1        1        1        0        0        0        0        0        0
1        0        0        1        1        1        0        0        0        0        0        0        1        0        1        0
1        1        0        0        0        0        0        0        1        0        1        0        0        1        0        1
31        25        16        22        30        18        0        12        29        4        1        24        26        9        2        17
                                                                                                                       
发现第6行没有重复的,所以是个候选,可以用来画图。
补充说明 传消息，传息粒度（大小），测验程序：
如果有个电报员 需要4个数 就将信息发完， 则用 1010这种单调办法是没效率的。
再假设有个电报员被给予了8个数字，要发更多信息 就不能单调地 发10101010 ，这是没效率的。
相反 不去找那些单调的，而每次都不单调， 就需要符合一些规格。这需要两个概念：
一个是传息粒度 和 test测试程序（用于找到32个数各个都不同的全枚举）。
我们在 图里还提到 (浮移规则)shift 向上移位原则
下面用8个数字举例: 我们研究的对象是 0 1 2 3 4 5 6 7 这8个数字合理组合后所环成的圈
但是 因为画法的关系，可以用一个9栏X5行的表来表示
                消失        （0）        （0）        （1）                               
                0        0        1        1                               
        0        0        1        1        0                               
0        0        补 1        1        0        ？                               
十进                1        3        6        4、5                               
上图可见 ，按移位原则 十进制数1 提升后可 变3（或2），3可提升后变6（或7）。
这是一种秩序。
另外一个就是 镜像对称：1栏和2栏对称， 而4栏和5栏对称
0        1                0        1                0        1        1        0
0        1                0        1                1        0        0        1
0        1                1        0                0        1        0        1
        底读        或        艮        兑                                震        巽
坤        乾                震，        巽，                坎        离        艮，        兑，
0        7                1        6                2        5        4        3


传息粒度
先不说传息粒度 ，而讲数字成圈后的特性，虽然两个数一组，粒子的大小就是2，但是如果是连绵相并，则第一组的起点就是最后组的终点。况且第1组的终点就是第2组的起点，所以对8个数，虽然跨了三个数，可是头和尾的间隙是1， 比如 5的二进制是101， 中间的0是间隙，头是1，尾是1，而因为尾巴的1要用到下一组，所以平均算8个数的粒度要按2来计算，如此有4组数字；数三个一组算粒度3. 则16个数的数块就是粒度3。 如果四个数一组合，则粒子的大小为4的是32数的数块，但是间隙为3（隔开三）.对64个数的数块可以5粒度，却有间隙4（GAP4）。
测试， 就是一种测验方法 可以检查 比 01010101之类的单调排列更好的排法。
但是其要求就是要被枚举完全
就是 0 1 2 3  这4个数 要全出现， 或 0 1 2 3 4 5 6 7 这8个数要全出现
不能漏一个 也不能重复。
进行64个数的排列时，读取方法是隔开4个后读另外一个数
具体四个图可以解释基础概念。
这几个概念后 就会继续讨论群论的乘法问题。
图




图

非常数1

用a|b來表示「a會整除b」，而a （\nmid） b則用來表示「a不可整除b」。

定理1：一個其阶|G|可以被一質數次方p^k整除的有限群G會有一個其阶為p^k的子群.
推论2  有限群G的任一元素的阶都能整除群的阶数.
子群的基本性質:H是群G的子群若且唯若其為非空集且在乘積和逆運算下為封閉的。(封閉條件是指：任兩個在H內的元素a和b，ab和a^(−1)都為在H中。這兩個條件可以結合成一個等價的條件：任兩個在H內的a和b，a(b^(−1))也會在H內。)在H是有限的情狀下，則H是一個子群若且唯若H在乘積下為封閉的。(在此一情形下，每一個H的元素a都會產生一個H的有限循環子群，且a的逆元素會是a^(−1) = a^(n − 1)，其中n為a的階。)
給定一子群H和G內的某一元素a，則可定義出一個左陪集 aH={ah;h∈H}。
例子和图理解对称群S3的子集 子群性质：

s3陪集

，

，
,.
,

,,

,
从右往左看(此下一行表示从右往左一轮)  左侧后看
第1个 (12)(13)=?
1对3,所以1对3
2对1,所以2对1
3对1,1对2,所以3对2
综上所述,结果为(132)
第2个``(132)(123)=?(这个可查乘法表 见上面的图 这里是如何具体算)
1对2,2对1,所以1对1
2对3,3对2,所以2对2
3对1,1对3,所以3对3
综上所述,结果为(1)
第3个 （13)(12）=?
1对2,所以1对2
2对1,1对3,所以2对3
3对1
综上所述,结果为(123)

非常数1

先分析一下s4里面元素的阶数
1阶：e,就一个
2阶：2种可能性：(12)或者(12)(34)，第一种可能性6个，第二种3个
3阶：(123)这种类型,一共8个
4阶：(1234)这种类型，一共6个
这样加起来1+3+6+8+6=24

非平凡子群阶数只有可能是2,3,4,6,8,12

2阶同构于z2，1个二阶元素生成，一共9个

3阶同构于z3，1个三阶元素生成，一共4个(1个3阶群里面两个3阶元素)

4阶两种情况：
  a. 同构于z4：1个4阶元素生成，一共3个(z4里面两个4阶元素)
  b. 同构于z2+z2：每个这种子群里面有3个二阶元素，这个又分成两种情况：
    a) id,(12),(34),(12)(34)这种类型的，一共3个
    b) id,(12)(34),(13)(24)，(14)(23)，1个

6阶两种情况：
  a. 同构于z6：这个需要生成的2阶元素和3阶元素可交换，但是s4不满足，所以这个没有
  b. 同构于s3：同构于s3,4个

8阶五种可能：
  a. 同构于z8：不可能，没有8阶元素
  b. 同构于z4+z2：不可能，4阶元素和2阶不可交换
  c. 同构于z2+z2+z2：不可能，没有3个可以互相交换的2阶元素
  d. 同构于Q8：不可能，Q8需要6个4阶元素，把S4的6个4阶扔进去搞不定
  e. 同构于D8：1个4阶元素a和1个二阶元素b生成
  D8 = {e,a,a^2,a^3,b,ab,a^b,a^3b}，其中a^4 = b^2 = e, a^3b = ba
  D8里面e 1；a,a^3 4阶；其他都是2阶。其中a^2和b是可以交换的。
  这样的话有3种可能:
    a) a = (1234), a^2 = (13)(24), b = (13)
    b) a = (1324), a^2 = (12)(34), b = (12)
    c) a = (1243), a^2 = (14)(23), b = (14)

12阶只有A4
3阶乘=6，
4阶乘=24 所以 24/2=12
0 1---23:



Number of subgroups S5 156
Compared with : 1,2,6,30,156,1455,11300, 151221
引用 石厚高 原话:
今年（注解2006年）一月十三日完成＜電腦化群的乘法表＞，是利用電腦演 算Ｓn （任意維群的乘法表），三階、四階、五階．．（Ｓ3、Ｓ4、 Ｓ5．．） 乘法表能用電腦作，是因為我發現了Ｃ語言中一個妙函數 a[b[x]]。 　　排列 321 與 213 的合成 （321）*（213）是 　　　　　　1->3 　3->3　故得　1->3；　　 　　　　　　2->2 　2->1　故得　2->1；　 　　　　　　3->1 　1->2　故得　3->2 若設　i=123, 　a=132, 　b=213, 　c=231, 　d=312, 　e=321 即得　　　　　　　　　　e*b=d 所以就可以列出Ｓn 的表，這是用〞手〞作的。 * | i a b c d e 　　三階乘法表Ｓ3，一般抽象代數的教科書或專 --|------------    　書都有，四階Ｓ4只有在＜協進圖書公司＞ i | i a b c d e  　IRVING ADLER 原著、吳英格編譯的《群論易 a | a i c b e d 　讀》（民國６６年出版）中找得到， 他有５ b | b d i e a c 　處錯誤，找出它的錯全拜電腦之賜。 c | c e a d i b d | d b e i c a 　二階當然不必提，四階以上的未見諸任何專書 e | e c d a b i 　，我很幸運，居然於今年一月十三日解決了。 　　Ｓ4 是２４ｘ２４的表，他有５７６個數據；Ｓ5 是１２０ｘ１ ２０的表，他有１４，４００個數據，沒辦法全部顯示，所以我把它 用〞想看那裡就看那裡〞的方式呈現，雖然不能「一目瞭然」，至少 聊慰相思之苦。 　　所以我用Ｔurbo Ｃ 寫三個程式Ｓ3、Ｓ4、Ｓ5 作成了三階、四 階、五階乘法表，前二者可以「一窺全貌」，Ｓ5 指定想看的區域， 就列給大家看。計算全部１４４００項並建檔耗時２秒，在ＤＯＳ、 英文系統中作業，它佔４４９１９個　byte，想想看１４４００組排 列的合成，是多麼的煩人，電腦作得輕輕鬆鬆。 　　這個問題十九世紀１００年沒有作出來，十九世紀只作到Ｓ3 ， 二十世紀只作到Ｓ4 ，都是用「手」作的；二十一世紀我解決了Ｓ5 、Ｓ6、Ｓ7．． 是用電腦作的。
以參考。袁同禮《中國數學家傳記》、張奠宙《中國現代數學史略》、程民德主編《中國現代數學家傳》、北京大學數學系編《北京大學數學系八十周年》
、陳省身《陳省身文選》、王元《華羅庚》、《劍橋晚清史》、《劍橋中華民國史》、李仲珩《三十年來中國的算學》、張玉法《中國近代自然科學的發軔》、河田敬義《日本數學百年史》。

非常数1

反过来， numblocology 对16.，（跨2即粒度3 素数），对64用粒度5（gap4),和对256用粒度7
都可以用素色图画出来看几何对称性。而目前对 128是色盲，因为正好在不用多色划线时看不出 是否是
正解来。也就是说用素色几何图鉴定则16元素，64元素和256元素的是几乎唯一能如此排的。
比如，在粒度m=7的数组块256的 足迹（footprint）研究对256元素的卷起 foldup 操作方面看，它是协调的。（位置y, y+3,y-1,y+2;y+5,y+1,y+4）为其通用式子。256元素 footprint for gap6 foldup 粒度M=7 看 footprint 里的1到16个数，从第17开始下一循环，然后17到33=16。另一方面7X36=252和8X32=256之差为4，就是开始多余4冒出到下次循环：
表20 foot print start1 1 隔开6（M=7） 37X7=259-256=3,17X7=119-7=112, 16x7=112
图P-1

图P-1
74        1        184        111        38        221        148        75        2        185        112        39        222        149        76        3
186        113        40        223        150        `77        4        187                41        224        151        78        5        188       
42        225        152        79        6        189                43        226        153        80        7        190                44        227
154        81        8        191                45                155                9        192                46                156       
10        193                47                157                11        194                48                158                12        195
        49                159                13        196                                160                14                       
        161                15                                                        16                                       
        17                                                        18                                                        19
        X1                                                                                                               
        129                                        20                                                        21               
        241                        22                                242                        23                                243
        97        24                                244                        25                                245               
26        209                        246                        27        210                        247                        28        211
        X4        248                        29        212                66        249                        30        213                67
250        177                31        214                68        251        178                32        215                69        252        179
        33        X216        143        70        253        180        107        34        217        144        71        254        181        108        35
218        145        72        255        182        109        36        219        146        73        256        183        110        ，37        220        147
                                                                                完                                       
74        end        184        111        38        221        148                        185        112        39        222        149               
        113        40                                                                                                       
                                                                                                                ，       
                                                                                                                       
                                                                                ，                                       
        49        X3                                                                                                       
                                                                                                        ，               
                                                                                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                ，       
                                                                                                                       
                                                                                ，                                       
        65        X4                                                66                                                       
                                                                                                        ，               
                                                                                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                ，       
                                                                                                                       
                                                                                ，                                       
        81        X5                                                                                                       
接）表下 256 gap6 2
                                                                                                        ，               
                                                                                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                ，       
                                                                                                                       
                                                                                ，                                       
        97        X6                                                                                                       
                                                                                                        ，               
                                                                                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                ，       
                                                                                                                       
                                                                                ，                                       
        113        X7                                                                                                       
                                                                                                        ，               
                                                                                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                ，       
                                                                                                                       
                                                                                ，        112                               
        129        X8                                                                                                       
                                                                                                        ，               
                                                                                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                ，       
                                                                                                                       
()                                                                                ，                                       
        145                                                                                                               
                                                                                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                       
        161        (177)        193        209        225        241        To        256                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                       
完结

非常数1

对用4元素必须gap=0,而8元素必须gap=1,而128元素则素色图无法得（唯一排法）结果可以用如下表 如下图表示：
，
1        1        0        0                                               
1        0        0        1                                               
3        2        0        1                Gap        0                       
1        1        0        0                                               
1        0        0        1                                               
3        2        0        1                Gap        1        fo        ld        不
        1        0        1        0                                       
        1        0        0        1                                       
        3        0        2        1                                       
0        1        0        1                                               
0        1        1        0                                               
0        3        1        2                                               
                                                                       
8                                                                       
1        1        1        0        1        0        0        0                g
1        1        0        1        0        0        0        1                a
1        0        1        0        0        0        1        1                p
7        6        5        2        4        0        1        3                2
                                                                       
0        1        0        0        1        1        0        1               
0        1        1        0        1        0        1        0               
0        1        0        1        0        0        1        1               
0        7        2        1        6        4        3        5               
                                                                fo        ld
test                                                                       
0        1        0        0        1        1        0        1               
0        1        1        0        1        0        1        0               
0        1        0        1        0        0        1        1               
0,        7        2        1        6        4        3        5               
                画        图        p        2                               
图p2

类似有图Q和位阻 命题一证明图
最后还剩下 16元素和32元素的有关论证：
我们可以轻松维护16元素必须隔开2读取得 正确 01自扩张码的观点
对 16元素 因为其典型二分部排法正好是互反象的  anti bit 就是0变1和1变0分正负子圈的，所以对隔开2就有空间位置阻力而只能得到唯一的16序，相反对跨隔3的因为粒度4为有如下 foldup 之后画图Q-1上部，此表下半泽画图Q-1下半
（格式0-7，0-3 而格式0-1未画 可将15对1，和14对6看看）

0        1        0        1        0        1        0        1        0        1        1        1        0        1        0        0
0        1        0        0        1        1        1        1        0        1        0        0        0        0        1        1
1        1        1        0        1        1        0        0        0        0        1        1        0        0        1        0
1        1        0        0        0        0        1        1        0        0        1        0        1        1        1        0
3        15        2        8        6        14        5        13        0        12        11        10        1        9        7        4
                                                                                                                       
0        1        0        1        0        1        0        1        0        1        1        0        0        1        0        1
1        1        0        1        0        1        1        0        0        1        0        1        0        0        1        0
1        1        1        0        0        1        0        1        0        0        1        0        1        0        1        0
0        1        0        1        0        0        1        0        1        0        1        0        1        1        1        0
6        15        2        13        0        14        5        10        1        12        11        4        3        9        7        8
                                                                                                                       
                                                                                                                       

，来源表：16镜像
1        1        1        1        0        0        1        0                                                               
1        1        1        0        0        1        0        1                                                               
1        1        0        0        1        0        1        1                                                               
1        0        0        1        0        1        1        1                                                               
15        14        12        9        2        5        11        7                                                               
                an        ti        bi        t        否                                                                       
0        0        0        0        1        1        0        1                                                               
0        0        0        1        1        0        1        0                                                               
0        0        1        1        0        1        0        0                                                               
0        1        1        0        1        0        0        0                                                               
0        1        3        6        13        10        4        8                                                               
                                                                                                                       
                                                                                                                       
图Q-1

注意 四距离就是夹3个 数。16的shift rule 表其粒度M=3和此无关。
图

非常数1

Numblocological axiom(not simple),
Numblocology
01自扩张码公理的小修订：
4元素的数组块，读取用间隔0；
8元素的数组块，读取用间隔1；
16元素的数组块，读取用间隔2；
32元素的数组块，读取用间隔3；但用多色图画连相反数对（11111对00000等）。
64元素的数组块，读取用间隔4；其粒度M=5且排法几乎唯一。
128元素的数组块，读取用间隔5；但用二色图画连相反数对（1111101对0000010等）。
256元素的数组块，读取用间隔6；其粒度M=7（素数），
类似
到很大的素数
否则用多色线进行辅助看是否几何对称。multicolour lines for checking symmetry.
而色线的总色调个数需要群论帮了解确定。

非常数1

Numblocology 最初有四个命题。为何还叫命题呢，因为涉及到阶数问题，如果在16，64上成立的规律，要在n 或很大或符合规定的很大数目上的数组块
上成立 其通式性证明是比较难得。数学上某个有规律的东西 拿出来就是引理和定理.这里说命题 是为了回避 d阶数组上皆成立，所引起的论证问题。
这四个最初的命题是Numblocology  的规律。可以放心使用，前三个先介绍一下： 这就是第一命题，第二命题和第三命题。

第一命题是针对素数粒度（就是数块16元数，64元素，256元素等 因其对称几何图几乎唯一 且都是总体左右对称两分的，其近粒（nearby particle)的
大小也是超二分之一的总体元素的跨涉度的）而认为其应空间位置阻力而不得不中断无法连续同性质排下去的那种规律，推论是16元数组块的对称几何
图只能如此（左右对称)而不能东西和南北四向对称。

第二命题是说凡是16元或64的数组块 其上的卷起操作 foldup procedure 或变换（出发表-变-目标表）分别隔2或隔4来进行后 其出发表如果是合符不重复，n个元素被全枚举的规则，也符合浮移规则 shift rule 的，则保证合规律地其目标表是能通得过第一检验的(第一检测 the first test 另有定义)。

第三命题是所谓的 对 8，32，128等或需要多色划线确定唯一性几何对称图的数块，其都有隔（gap）增一而容易得到伪几何图（伪图，或对称图,但是条件满足则也能得到左右对称格局的几何图）的规律。在这里，增一是指8的正规隔1，32的正规隔3，128的正规隔5，现在增加一，变成8按gap2排，32按gap4排，128按gap6排 其粒度分别变 3，5，7等类推。
它们的开始表如果是符合 shift rule 的首尾单连接贯穿的，且元素数目同数目的格子数出发表（比如8元排在8格子里），则 foldup卷起程序完成后，其对应
的必然符合全枚举数的,能通过 第一检测 the first test，至于其真正的几何图是否符合对称规律，则没有断言。
下面是转帖第一命题和第二命题。