[讨论]变量，函数，连续

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/09/18 04:21pm 第 2 次编辑]

理论需要生活来润色:
我们来看看一楼的介值定理跟请客吃饭的关系：方桌必能在基本平坦的地面的某处四脚着地
任意将桌子摆在地上，记桌脚底顶点依次为A，B，C，D，
设 A，C （对角点）离地距离之和为S， 而B，D离地距离之和为T
注意恒有3个顶点着地，从而S与T至少有其一为0。我们希望它们都为0。
差 S －T 是桌子‘置放方式’的连续函数。现在已经相当接近问题的解答了。令 f(m) = S - T， 其中m是桌子置放参数，可以是多维的，例如一个指定的桌腿顶点的坐标加它与对角的桌腿顶点所成的线跟正东方向的夹角等等。
由楼上的定义，易见函数 f关于上述参数的是连续的。
如果在初始状态就有 S = T = 0， 那么桌子已经四脚着地，没有什么要证明的了。
不妨设在初始状态有 S > 0, T = 0 即A,C 有且仅有其一离地，其它三脚着地，
我们将桌子转动90度，让它与初始状态‘重合’，即有A到原来B的位置，B到原来C的位置，..
那么在‘新的状态’下新的T就会是原来的S，新的的S就会是原来的T，于是f 就从正值变到负值。
由连续函数的介值定理，f必在上述转动的中间某处取值为0。此时桌子的四腿便同时着地了。
对介值定理的这种‘用法’你以为如何？
==================================================================
闭区间上的连续函数的有界性似乎不是什么有趣的事情。但是它却是以下比较有趣的定理的基础：
定理： 若 f 是 [a, b] 上的连续函数， 那么 f 在 [a,b] 上可达到其最大最小值。
没有例外，这条定理也依赖于实数的连续性。

elimqiu

这一帖就是用 aurora 在 word 里编写的。效果还不错。

elimqiu

我们常会用到一个事实：
若 T 是 E 的一个上确界， 那么存在取值于 E 的序列 {An} 使得 1/n < An ≤T
试证明之

elimqiu

elimqiu

“1/n  其中 n 趋于无穷大”和 {1/n} 有区别吗？ 如果有，那么的区别是什么？
lim 1/n 和 “1/n  其中 n 趋于无穷大” 有区别吗？ 如果有，那么的区别是什么？
n→∞

wangyangkee

一道题选择题，关于elimqiu 老师的颜面厚度与其数学功底厚度比较
1，elimqiu 老师的颜面厚度  等于  其数学功底厚度；
2，elimqiu 老师的颜面厚度  小于  其数学功底厚度；
3，elimqiu 老师的颜面厚度  大于  其数学功底厚度；
4，elimqiu 老师的颜面厚度  大大的大于  其数学功底厚度，，，

elimqiu

下面引用由elimqiu在 2010/09/20 05:21pm 发表的内容：
“1/n  其中 n 趋于无穷大”和 {1/n} 有区别吗？ 如果有，那么的区别是什么？
lim 1/n 和 “1/n  其中 n 趋于无穷大” 有区别吗？ 如果有，那么的区别是什么？
n→∞

“1/n  其中 n 趋于无穷大” 显然不等同于序列 {1/n}。 因为后者本质上是定义域为正整数的函数，并不对自变量本身有行为上的规定。
前者勉强可以理解为数列，但是“其中 n 趋于无穷大”没有明确的意义。是没完没了的越变越大吗？ 现在变到哪里了？ 没有人可以回答。所以这个‘补充性’修饰使得整个语句变得没有确定的意义。
那么
lim 1/n 和 “1/n  其中 n 趋于无穷大” 是不是等价？
n→∞
当然不！前者是一个确定的数，而后者在标准分析里根本就是不知所云。

“1/n  其中 n 趋于无穷大” 是顽石的东西。他号称这东西叫无穷小量。又叫变量。所以我们要看看现行数学的变量到底是什么。

==========================================================
以下部分由颜面巨厚，不甘寂寞的 wangyangkee 所问：

下面引用由wangyangkee在 2010/09/21 10:13am 发表的内容：
一道题选择题，关于elimqiu 老师的颜面厚度与其数学功底厚度比较
1，elimqiu 老师的颜面厚度 ?等于 ?其数学功底厚度；
2，elimqiu 老师的颜面厚度 ?小于 ?其数学功底厚度；
3，elimqiu 老师的颜面厚度 ?大于 ?其数学功底厚度；
4，elimqiu 老师的颜面厚度 ?大大的大于 ?其数学功底厚度，，，

elimqiu

我认为顽石的变量的概念与现行数学的变量的概念完全不同。而他的变量概念可能有某种典型性。所以值得弄清楚变量在标准分析里的意义。

wangyangkee

一道题选择题，关于elimqiu 老师的颜面厚度与其数学功底厚度比较
1，elimqiu 老师的颜面厚度  等于  其数学功底厚度；
2，elimqiu 老师的颜面厚度  小于  其数学功底厚度；
3，elimqiu 老师的颜面厚度  大于  其数学功底厚度；
4，elimqiu 老师的颜面厚度  大大的大于  其数学功底厚度，，，

elimqiu

下面引用由wangyangkee在 2010/09/23 10:05am 发表的内容：
一道题选择题，关于elimqiu 老师的颜面厚度与其数学功底厚度比较
1，elimqiu 老师的颜面厚度  等于  其数学功底厚度；
2，elimqiu 老师的颜面厚度  小于  其数学功底厚度；
3，elimqiu 老师的颜面厚度  大于  其 ...

顶一下 wangyangkee 关于变量，函数，连续的颜面