Numblocology 对称性研究，对称性破缺和群论的吴氏分类法

非常数1

7        4        6        0        5        1        3        2  本是均匀对称几何图，其出发 的G3就是对称破缺的
2       7        6        5       3          4       0        1
           数组块中某元素的特质成了关键，逆序失效和 61-43能均衡的问题。
要知道什么是逆序无效，先看一个逆序有效的例子，是在二进制水平发生的事情，而所谓无效的则是某些十进制水平的事件。二进制那些逆序有效的展示如下： 这要用到检测程序（test）。一个检测程序是从01核心串(01 core string) 出发 按 隔开规定的数目的数字不读，而读取一部分数。
这部分数再写成竖排列结尾用十进制总结。10111的逆读是11101.如果有16个01字符，每隔开2数就读取一个数则可以得到一个顺排的测试（检测程序，test),如果数组块表的最后一行的十进制数都不相同，则为全枚举，不重复。称为通过了测试。如果一个通过了测试的 01 core string 从最后一个字符开始逆读到最先，则为逆读，如果这个新的01 core string 也能通过测试，就是逆读有效，比如：
1        0        1        1        1        1        0        0        0        0        1        1        0        1        0        0
的gap=2 的 test 为
1        0        1        1        1        1        0        0        0        0        1        1        0        1        0        0
1        1        1        0        0        0        0        1        1        0        1        0        0        1        0        1
0        0        0        0        1        1        0        1        0        0        1        0        1        1        1        1
0        1        1        0        1        0        0        1        0        1        1        1        1        0        0        0
12        5        13        8        11        10        0        7        4        1        15        9        3        14        2        6
逆                                                                                                                       
0        0        1        0        1        1        0        0        0        0        1        1        1        1        0        1
0        1        1        0        0        0        0        1        1        1        1        0        1        0        0        1
0        0        0        0        1        1        1        1        0        1        0        0        1        0        1        1
0        1        1        1        1        0        1        0        0        1        0        1        1        0        0        0
0        5        13        1        11        10        3        6        4        7        12        9        15        8        2        14
逆        也        不        重        复                                                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                       


同样对8个元素的01水平发生的逆也会有效，请先观察一下：01 core string gap=1读取
1        0        1        1        1        0        0        0        7        2        6        4        5        0        3        1
1        1        1        0        0        0        1        0                                                               
1        0        0        0        1        0        1        1                                                               
7        2        6        4        5        0        3        1                                                               
逆                                                                                                                       
0        0        0        1        1        1        0        1                                                               
0        1        1        1        0        1        0        0                                                               
1        1        0        1        0        0        0        1                                                               
1        3        2        7        4        6        0        5                逆        也        不        重        复               
上面的图 如画出 则都是均匀对称的。
现在看8元素十进制水平 逆序无效的表现：主要在顺读是一种图，逆则变另一种。比如G3能生出 对称的顺图而不对称的逆图（反之也行，不对称的顺图和对称的逆图），
见图9.下面把 图9中 G3的对称图的序列照抄如下

逆        时        针                                                                                                               
7        3        5        6        2        1        0        4                                                                       
4        0        1        2        7        3        5        6                                        反        序                       
顺        时        针                                                                                                               
7        6        5        3        2        4        0        1                                                                       
这是正规的几何对称图的出发候选序列。
图9

另外 在图9里也提示很重要的8个元素里如果要排均匀，应该哪四个能相互把影响抵消
看下表的左面，显然是 16和34这四个，
因为按0的分量 则 111=7是一个0都没有 比较偏分配。
要得到对称图 则 61和43协调就可以。按常识，所谓对称破缺发生地方应该远离16和34的问题，专门和25或70有关才合理。（表）
1        0                1        0                                        1        0                        0        1               
1        0        =        0        1                                        1        0        X                1        0               
0        1                0        1                                        1        0                        0        1               
                                                                                                                               
6        1                4        3                                        7        0                        2        5               
                                                                                                                杂        交       

现在我们看看对称性破缺解释的第三个解释：第一是认为如果忘记数组块要连为圈，则佯装成是线性排列的，则如下排法最能回避对称破缺的显然化 或显化
佯装成可以临时忽略的样子 如下表 表D8 有 shift rule 规定的最对称的排法，两种

0        1        0        0        0        1        1        1                1        0        1        1        1        0        1        0
1        0        0        0        1        1        1        0                0        1        1        1        0        0        0        1
0        0        0        1        1        1        0        1                1        1        1        0        0        0        1        0
                                                                        5        3        7        6        4        0        1        2
2        4        0        1        3        7        6        5                                                                       
                                                                                                                               
为了印证这种佯装其实离实际对称只有一步之遥。那么这第三解释的第二是关于gap1的全排列的令人惊讶的对称。
表E 8x 部分：
5        3        7        6        4        0        1        2
然后
2        4        0        1        3        7        6        5

5        3        7        6        4        0        1        2                        G0                                               
4        5        0        3        1        7        2        6                        s                                               
2        5        4        3        0        7        1        6                        t                                               
1        5        2        3        4        7        0        6                        u                                               
0        5        1        3        2        7        4        6                        v                                               
4        5        0        3        1        7        2        6        x                                                               
                                                                2        4        0        1        3        7        6        5        G0
                                                        w        3        2        7        4        6        0        5        1       
                                                        x        5        2        3        4        7        0        6        1       
                                                        y        6        2        5        4        3        0        7        1       
                                                        z        7        2        6        4        5        0        3        1       
                                                                        2                4                0                1       
图10

非常数1

总结 7和0按 shift rule 不能排在一起 而 2和5可以排在一起，还有2和5的特质是构成8元素图会对称破缺的原因。
我们知道 对 序列丁 4        0        1        3        7        6        5        2                        丁
是不好问G2是否左右对称的--- 因为8元素的对称性破缺的缘故才如此。但是以为G3和G5的多变性，先做丁序列的G3链式全排列是对后面的群的分类
有直观帮助作用的。所以画表 ding 8 node1 和表 ding 8 node2 再画对应的图就能得到G3的各式样图。
然后表 ding 8 node2
比如
或
然后表 ding 8 node3

4	0	1	3	7	6	5	2
	4	1			0			.
	4		1		0			.
	4			1	0			.
	4				0	1		.
	4				0		1	.
1	4				0			.
	4	1			0			.
	4	1	7		0	3		.
	4	1		7	0	3		.
	4	1			0	3	7	.
7	4	1			0	3		.
2	4	1	7	5	0	3	6	.

可画图，图 11 的 a1在最左上。

丁 序列 G3 链式 全排列：表ding 8 node1/node2
4        0        1        3        7        6        5        2                                                               
        4        1                        0                                        node        1        a                       
        4                1                0                                                        b                       
        4                        1        0                                                        c                       
        4                                0        1                                                d                       
        4                                0                1                                        e                       
1        4                                0                                                        f                       
                                                                                node        2                               
        4        1        7                0        3                                                a                       
        4        1                7        0                                                                               
        4        1                        0        7                                                                       
        4        1                        0                7                                                               
7        4        1                        0                                                                               
                                                                                                                       
        4                1        7        0                3                                        b                       
        4                1                0        7        3                                                               
7        4                1                0                3                                                               
        4        7        1                0                3                                                               
        4                1                0                3                                                               
                                                                                                c                       
3        4                        1        0        7                                                                       
3        4                        1        0                7                                                               
3        4        7                1        0                                                                               
3        4                7        1        0                                                                               
                                                                                                                       
                                                                                                                       
表ding 8 node3，
4        0        1        3        7        6        5        2

2        4        1        7        5        0        3        6                                        A1                       
5        4        1        7        2        0        3        6                                        A2                       
6        4        1        2        7        0        3        5                                        a        4               
6        4        1        5        7        0        3        2                                        a        5        y       
5        4        1        6        2        0        3        7                                        a        8               
2        4        1        6        5        0        3        7                                        a        9               
                                                                                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                       
6        4        5        1        7        0        2        3                                        B1                       
6        4        2        1        7        0        5        3                                        B2                       
                                                                                                                       
4        0        1        3        7        6        5        2                ding                                               
5        4        6        1        2        0        7        3                                                               
7        4        5        1        6        0        2        3                                E5                               
2        4        7        1        5        0        6        3                                F6                               
6        4        2        1        7        0        5        3                                D4                               
                                                                                                c                       
3        4        6        2        1        0        7        5                                        C1                       
3        4        5        6        1        0        2        7                                        C2                       
3        4        7        5        1        0        6        2                                        C3                       
3        4        5        7        1        0        2        6                                        C4                       

图11 ，另外8元素的几何图至少有16个型也可在图11找至少12的名称

非常数1

下面是 关于群的分类的。这事的建立需要借鉴两段话来明确。
玻璃器皿的幸运：化学发展史上除了有希腊理性哲学的引导外，
就是那个化学学科发生之地，人们是用玻璃器皿进行炼金 alchem,,,和炼丹的。因为观察到了颜色的变化。

人的眼睛是由黑、白两部分所组成的，可是神为什么要让人只能通过黑的部分去看东西？ 因为人生必须透过黑暗，才能看到光明。《塔木德》。犹太
人的智慧书。
group theory 是研究对称性的。群也要被直观吗，若是 ，那么就多和图结缘吧。

非常数1

消息：中国将于2020年至2025年间开始建造世界最大粒子加速器，这项安装将可让科学家们能更多了解宇宙的运作。中科院高能物理研究所所长王贻芳向媒体表示，这项计划的最终概念将在2016年底完成。

　　法新社周四（29日）北京报导指出，一旦中国完成这项计划，所建造的这个加速器至少将比由“欧洲核子研究中心（CERN）”建造的目前全球最大加速器的强子对撞机LHC，还要大上两倍；这个加速器建造在法国与瑞士的边界。

　　LHC强子对撞机加速器帮助科学家在2012年得以证实希格斯玻色子的存在。这个基本粒子被视为如同物质基础结构的基石。

　　而恰恰就是这个希格斯玻色子成了中国这项计划的中心，这项计划所建造的加速器是以 前所未有的规模所产生出的数以百万的这些粒子比欧洲的LHC超越了几百代；LHC加速器长27公里，而中国未来建造的粒子加速器长50至100公里。

　　王贻芳所长解释说，LHC强子对撞机产生了希格斯玻色子，以及还有许多其他种类的粒子。而中国建造的粒子加速器将创造出一个能单单产出希格斯玻色子的高纯度环境。
数学：

数学中群论的乘法表基本界定了群的性质，通过查这个表可以得到整个群元素的逆，有C，则有C的逆=C^-1.
选好的矩阵（  ） 如果 能让 C（ ）C^-1 变规整，则合符此性质的 （） 在群内就归为一个类 class。
元素的共轭类: 一组彼此共轭的所有元素集合称为群的一个类
乘法表具有以下性质：
(1) 封闭性: 即任意两个对称操作的乘积仍属于E ，C2， xz， yz四种对称操作。
(2) 乘法结合律:  即将任意三个对称操作A、B、C 相乘，可以按照任意的方式组合，即不管先将B、C 相乘，得到的积再与A 相乘；还是先将A、B 相乘，得到的积再与C相乘，两种方法得到完全相同的结果。ABC ＝ A(BC) = (AB)C
(3)存在恒等操作E:  任何一个其它操作与E 相乘该操作不变。
     由乘法表可见，E·C2 = C2·E = C2 等。
(4)每个对称操作存在一个逆操作: 与一对称操作相乘等于恒等 操作E 的操作称为该操作的逆操作(Reciprocal Operation)。
      C2 ， xz， yz以及E 的逆操作就是它们本身。
群的定义：
            在数学上当一组元素的集合 G {a，b，c，d……} 可以定义一种“乘法”运算，它满足以下条件：
(1) 封闭性，即 G 中任何两个元素的乘积仍属于集合G。
(2) 满足乘法结合律，即 G 中任意元素a，b，c 相乘，满足
                                      (ab) c = a (bc)
(3) 有单位元素E，单位元素左乘或右乘集合 G 中任意一个元素仍为该元素本身。
(4) 有逆元素，即集合 G 中任意一个元素和它本身的逆元素相乘等于单位元素。
            则该集合 G {a，b，c，d……}构成一个群，a，b，c，d……等称为群元素。
H2O 分子属于C2v 群，        C2v={E, C2, v, v‘}            4阶4类
同构：两个群，阶相同，具有相同的乘法表
                    一、一对应的关系。
同态
        如果群的一组元素gp对应于群G‘的一个元素gp’, gi gi‘，gj gj'，在G中有gigj=gk，则G‘中有gi'gj ' =gk' ，则G'与G同态，把gi'叫作gi在G'中的映象
对称点群对应的矩阵群称为群的表示（Representation of Group)，矩阵群的维数称为表示的维数。
群的不可约表示的个数等于群中类 class的个数。比如C3v有三类操作，有三个不可约表示。
定义 1.3                  群元 f 与 h 是群 G 的两个元素，若有元素g ∈ G使得gf g^-1 = ℎ，则称元素
h 与元素 f 共轭。容易证明，共轭是一种等价关系，于是我们可以利用共轭关系为
群 G 分类，群 G 的所有相互共轭的元素构成群 G 的一个类。
定义 1.4                  设有两个群G = {gj}与G' = {gj'}。若存在一个映射f: G → G'
，使得
f(gi)f(gj) = f(gi gj)
则称这两个群具有同态关系，映射 f 为同态映射，简称同态。若映射还是 1-1 的，
则同态同时是同构。

非常数1

四阶的群, 可能四阶 而四class
如果通过一种变换 让群元素符号 e等 等量代换成四个数字（n阶 则n个数字），让数表现为几何图形，现在的分类不是群内各个元素间的。
而是说某种群 其整体有何特征，如此分类 叫 群的分类，或整群的标识类。
四阶的当然也有循环群
另有 Klein 4：
四阶群 的 起始序列
1        0        0        1                       
0        0        1        1                       
                                               
2        0        1        3                       
The multiplication table with non-identity elementsand identity element :
Element/element       
                               
E=2,a=0,b=1,c=3
2        0        1        3        e
0        2        3        1        a
1        3        2        0        b
3        1        0        2        c
图12 klein 4 group的图
The cyclic group of order 4 is defined as a group with four elements  where  where the exponent is reduced modulo . I
the multiplication table using multiplicative notation:
Element         (identity element)         (generator)                 (generator)
        e                       
        x                       
        xx                       
xxx                               
E=2,x=0,xx=1,xxx=3
2        0        1        3        e
0        1        3        2        x
1        3        2        0        xx
3        2        0        1        xxx
                               
图12 klein 4 group的图 含有 4循环群

非常数1

8阶群的起始序列 A B
4        0        1        2        6        5        3        7               
                                                                       
7        6        5        3                2        4        0        1       
然后是8阶群的内容，会美翻天吗？可能看看数理经济学者陈博士的议论比较有方向感：

数学, 美和现实


科学研究分基础理论和应用两部分. 应用的发展由现实世界的需要主导, 由于很多基础研究没有明确的应用, 研究人员经常用”美”来指导其研究方向.


什么是美? 我们看到花朵, 觉得很美, 花朵开放之后, 里面的种子会结成果实; 我们看到草原, 觉得很美, 风吹草低现牛羊, 丰盛的青草会带来肥美的牛羊; 我们看到年轻的姑娘, 觉得很美, 年轻的姑娘会孕育新的生命. 美, 是我们对这个世界上重要资源的一种直觉. 有人会说, 我研究的是纯数学, 数学的美, 跟现实世界的重要性没有关系. 下面, 我们就来讨论数学的美.


首先, 数学中的很多基础理论, 源于应用, 几何学的原意是測地学(geo-metry). 而微分几何则源于测量大范围的地貌, 这时, 需要考虑地球的曲率. 多数教科书不讲理论的起源和历史, 我们读书的, 也就以为这些漂亮的理论是没有具体应用的纯数学. 其次, 把基础理论和应用结合起来, 会增加, 而不是减少基础理论的美感. 比如说, 矩阵理论本身非常漂亮, 但如果把矩阵理论应用到解析几何, 理论力学, 和量子理论中的矩阵力学, 当我们理解了特征值和特征函数的物理意义, 我们会觉得矩阵理论更加漂亮. 第三, 漂亮的数学结果, 往往预示极强的应用可能性. 比如说, 有一次我看到 Gibbs 不等式, 一个极简单的公式, 觉得很激动, 几年之后, 我发现Gibbs 不等式可以用来表述很多重要的问题.


为什么这么多女人和男人花这么多钱化妆? 就是因为美太有实用价值了. 由于美的实用价值, 大部分研究人员会说自己的工作美, 也不管自己是否真的喜欢. 正是由于美的滥用, 这个词当下的名声很不好. 前几年, 克鲁格曼[1] 曾写过一篇评论, 指责目前的经济学研究是beauty over truth. 但实际上, 最今几十年, 主流经济学研究并没有出过真正漂亮的结果, 有的只是堆砌出来用来化妆的方程 [2, 3].


那么我们如何才能做出真正重要的工作呢? 王国维说过：“古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界。‘昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路’，此第一境也；‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴’，此第二境也；‘众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处’,此第三境也。”


“独上高楼，望尽天涯路”, 我们只有独立思考自然, 社会中最根本的问题, 才能站得高, 看得远. “衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”, 碰到喜欢的问题, 就坚持做下去, 不能太多考虑短期的回报. “蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”, 好的工作, 大多不在热门的领域, 而在“灯火阑珊处”.

参考文献


1.       Krugman, P. (2009). How did economists get it so wrong? New York Times, 2(9), 2009.

2.       Galbraith, J. (2014). The End of Normal: The Great Crisis and the Future of Growth, Simon & Schuster

3.       Chen, J. (2015) The Unity of Science and Economics: A New Foundation of Economic Theory, Springer
这个方向就是说 明明有一个东西在那里 希望你画出来，你却找借口说说不定没有用。 其实 说不定真有用呢！
坚持做下去 这就是这里的关键词，也是本文的题目是如何来的原因。

非常数1

最容易理解的8个（对称操作=比如旋转90度则正方形能“再符合”，转90但正三角形却无法“再符合”）阶的群就是 D4:正方形的对称操作（比如旋轉和反射）形成了一個群，叫做二面体群，并记為D4
那个群的乘法表就在图13中 也将两种序列都赋予给这个乘法表，看它们是什么样的图形。
v 是垂直翻，h 水平地，d对角， c(反式对角之翻)
图 13 D4 在等量代换后的几何图
这个非交换群 让图形起了变化：
[attachimg]40576[/attachimg]

非常数1

偶数阶的群如 4 6 8 10等可以用补数定义 可联的线 数 而得到几何图显示， 在群论编织学里定义的一个灵巧的术语可以用 二组模糊区中数代替。


小一点的交换群为 C4, the cyclic group of order 4

Described via the generator a
with relation a4 = 1:
      1           a           a2     a3
1        1        a        a2        a3
a        a        a2        a3        1
a2        a2        a3        1        a
a3        a3        1        a        a2

另外一个 8元素的（可交换群）
C8, the cyclic group of order 8

Described via the generator a
with relation a8 = 1:
      1         a         a2         a3         a4         a5         a6         a7
1        1        a        a2        a3        a4        a5        a6        a7
a        a        a2        a3        a4        a5        a6        a7        1
a2        a2        a3        a4        a5        a6        a7        1        a
a3        a3        a4        a5        a6        a7        1        a        a2
a4        a4        a5        a6        a7        1        a        a2        a3
a5        a5        a6        a7        1        a        a2        a3        a4
a6        a6        a7        1        a        a2        a3        a4        a5
a7        a7        1        a        a2        a3        a4        a5        a6
Elements:
图14
见几何排法规整 不变。

非常数1

奇数 5，9，17的补数与去中数排列序
第一 其中 2，4，8就是它们的中数，5元素按4为补数 得 0和4，1和3成对；
9元素按8为补数 得 0和8， 1和7，2和6，3和5成对；
17元素按16为补数 得 0和16，1和15...6和10，7和9.
                                                   0        1        2        3        4                                               
                                0        1        2        3        4，        5        6        7        8                               
0        1        2        3        4        5        6        7        8，        9        10        11        12        13        14        15        16
                                                                                                                               
7        14                                0                6        8，        9        2                                16                10

第二是根据中数放中间，剩余的4，8，16格子按对子排 而排序
4        元        序                        2        0        1        3                                                       
                                                                                                                       
故        5        元        序        为        （        0        3        2        4        1        ）                               
                                1        0        2        3        4                                                       
                                                                                                                       
9        元        序        为        （        3        1        0        2        4        5        7        8        6        ）       
                                                                                                                       
17        的                                                                                                               
7        ，，                        0                6        8，        9                                        16                10
图 15中 有 4，5，6，8，9元素的初始序列的例子

非常数1

图15中的那些协调图难度比较高，比如有人用简化 过直径有子圈的解来做另外一种序，因其容易，似乎更能得到正统地位 那样 二组模糊中数也可不起用。然而，这样的图太对称（就是过直径的连线作图），反而无法细致显示差异。因此不是好的显示办法。
我们会在后面的图17给出例子，说明 过直径解 会显得大家都蒙然：图都一样还看什么差别呢？
图16是某些偶数图，因为偶数都比较整齐：用表 o-half 就可以了
在一半（2k 的一半是k 比如 6 从3开始，8从4开始等）的地方开始 比较协调（这样6和图15就不同序列）
3        0        1        2        5        4
不过 原来图 15 上的6序列则更好看。关于简并的问题 就是下面图17要谈的 其实也算一种不对称被不恰当的显示方法给蒙得无差别，
相当于是对称破缺回复对称的情形！
表 o-half 偶数的补数和半起序列表
在一半的地方开始 比较协调（这样6和图15就不同序列）
3        0        1        2        5        4
原来图 15 则更好看
4        元        序                        2        0        1        3                                        邻        象       
4                        半                2        0        1        3                                                       
                                                                                                                       
                                                                                                                       
6        元                 1        2        0        3        5        4                权        宜                1                4
6                半        3        0        1        2        5        4                                                       
8                                                                                                        2                6
8                                                                                                                       
        8        半        4        0        1        2        5        3        7        6                                       
                        4        0        1        2        3        7        6        5                                       
                                                                7        6        2        4        0        1        5        3
                        4        0        1        5        3        7        6        2                                       
10        元                                                                                                        3        5
10        半        5        0        1        2        3/        4/        9        8        7        6                        正       
10        半        5        0        1        3        7        4        9        8        6        2                               
                                                                                                                       
                                                                                                                4        8
12        元                                                                                                               
12        半        6        0        1        2        4        8        5        11        10        9        7        3               
                                                                                                                       
                                                                                                                       
14                                                                                                                       
14        半        7        0        1        2        5        10        4        6        13        12        11        8        3        9
                                                        1        0                                                       
                                                        0        1                                                       
                                                        1        0                                                       
                                                        0        0                                                       
16                                                                                                                       
半                                                                                                                       
8        0        1        3        6        13        10        4        9        2        5        11        7        15        14        12
8        0        1        3        6        13        10        4        7        15        14        12        9        2        5        11
图 16 偶数的 图 半数起点