试证序列 11，111，1111，11111，.... 中每项都不是完全平方数

ataorj

我总结下.
11,111,...都非完全平方数
证法1:证明(10a+1)^2和(10a+9)^2的十位数都非1即可
(10a+1)^2=100aa+20a+1,其十位数是2a的个位数,必然是偶数,非1
(10a+9)^2=100aa+180a+81,其十位数是8a+8的个位数,必然是偶数,非1
证毕.

证法2:m=(2a+1)^2,证明m的十位数为偶数即可
(2a+1)^2=4aa+4a+1,而1+偶数不会进位,所以十位数上,m和4aa+4a相同
n=4a(a+1),关注n末尾2位数,100种可能
a=5b时,4a=20b,n的十位数显然为偶数
a=5b+t,t={1,2,3,4}时,n=100bb+40bt+4tt+20b+4t,100bb+40bt+20b的个位数为0,十位数又显然为偶数,略去它们:
n=4tt+4t=4t(t+1)={08,24,48,100}
n的十位数显然为偶数
证毕.

证法310a+1)^2=100aa+20a+1≡1mod(4)
11+100+...+10^n≡3mod(4)
证毕.

fungarwai

x^2模4只能是0,1
模4余2,3的都不是完全平方数

ataorj

更正

证法3: (2a+1)^2=4aa+4a+1≡1mod(4)
11+100+...+10^n≡3mod(4)
(2a+1)^2<>11+100+...+10^n
证毕.

任在深

请问楼主！
       X^2在什么情况下表示线段？
       X^2又在什么情况下表示面积？！

                                                   谢谢！

elim

对非零实数 x,  x^2 是一个正实数。线段长是正实数，面积也是正实数，都可以选取适当的实数 x 使之表为 x^2.

大傻8888888

      末位数是0、2、3、4、5、6、7、8的数的平方不可能符合楼主的要求。只有末位数是9和1有可能。但是当末位数是9时,设倒数第二位是a(0、1、2、3、4、5、6、7、8、9),则平方后的倒数第二位的和为8+9a+9a=2(4+9a),这样平方后的倒数第二位的数就是0或者偶数。同理当末位数是1时,则平方后的倒数第二位的和为2a,同样是0或者偶数,,由此可知任何数的平方末尾两位数都不可能是11。

ccmmjj

求证：所有个位数和十位数都是奇数的整数都不是完全平方数。

大傻8888888

       用我在16楼的方法就可以证明17楼ccmmjj先生的命题"所有个位数和十位数都是奇数的整数都不是完全平方数。"

fungarwai

a=1,3,5,7,9
b=1,3,5,7,9

x^2≡0,1(mod4)
100k+10a+b≡2(a-1+1)+b≡b+2≡3,1,3,1,3(mod4)
b=3,7时x有解

x^2≡0,1,-1(mod5)
100k+10a+b≡b≡3,2(mod5)
x无解

ccmmjj

fungarwai 发表于 2015-12-24 16:01
a=1,3,5,7,9
b=1,3,5,7,9

说不得，是个好手段。