[原创数学]：升级版微积分：函值极限论

门外汉

微积分3.0版本(十):实极限与虚极限例题讲解
在前面，给出了实极限与虚极限的定义，并且给出了实极限与虚极限的判定法则，下面给出几个简单的例题进行讲解:
最典型的例子仍然是先前讲解过的两个例子:1是［0，1］中x→1的实极限，1也是［0，1)中x→1的虚极限。
例(3):设f(x)＝x^2是定义于［0，2］的函数表达式，求当x→0时的函数极限J是实极限还是虚极限?用判定法则①，首先该函数当x→0时的函数极限存在，为0，同时它的函值极限也存在，也为0，并且二者相等，所以0为该函数当x→0时的实极限。
例(4):设函数f(x)＝x/x，求x→0时的函数极限J是实极限还是虚极限?用判定法则③:由于x＝0对于函数无意义，所以这里的→符号代表的是(→∧≠)的含义，所以它的函数极限1是该函数的虚极限。
例(5):设当x≠4时，f(x)＝x，当x＝4时，f(x)＝0，求x→4时的函数极限J是实极限还是虚极限?这道题是要分别计算函数的左右极限的，这里虽然还没有讲到左极限和右极限，但也可以提前告知答案，根据判定法则②，它的极限不在值域之中，所以它的函数极限J是虚极限。
例(6):函数f(x)＝1/x当x→∞时的函数极限J是实极限还是虚极限?这个问题有争议，因为本系统中尚未讲到无穷大的部分，所以此问题暂时搁置，待讲到无穷大的部分时才会有答案。
最后讲一个曾经引起小风波的取整函数的例子:设f(x)＝［x］是取整函数，求x→1时的左极限是实极限还是虚极限。
取整函数是一个分段函数，如果将1划归为右段，即左段定义域为［0，1)，则x→1时的左函数极限为0，但f(x)在1处无定义，所以它的左函值极限不存在，所以0是f(x)当x→1时的虚极限。
但如果将1划归为左段，即左段定义域为(0，1］，则f(x)当x→1时的左函数极限和左函值极限全都不存在。
因此，在取整函数的定义中，应该再补充上一条定义:整数划归为分段函数的右段。

门外汉

微积分3.0版本(十一):无穷小判定法则
在前面，给出了函值极限的定义和判定法则，又给出了实极限与虚极限的定义和判定法则，下面专门针对微积分中的核心之重:无穷小给出判定法则。
根据定义，如果一个函数f(x)当x→xо(或x→∞)时的函数极限J等于0，则称函数f(x)为当x→xо(或x→∞)的无穷小。
特别的，以0为极限的数列｛xn｝称为n→∞的无穷小。
由于在前面定义了实极限和虚极限的概念，所以对于无穷小的函数极限0，同样也有实极限与虚极限之分。下面举例进行说明:
例1:因为lim(x→2)(x－2)＝0，所以函数(x－2)为当x→2的无穷小，下面判断0是该无穷小的实极限还是虚极限:首先根据函值极限的判定法则，可以判定出该函数存在函值极限0，Jo＝J＝0，再根据实极限与虚极限的判定法则，如果一函数有Jo＝J，则该函数极限J是实极限，所以0是函数(x－2)当(x→2)时的实极限。
例2:设函数f(x)＝x^2，当x→0时，其函数极限J为0，根据同样的方法可以判定出f(x)存在函值极限Jo＝0，则有Jo＝J＝0，所以0为该无穷小的实极限。
下面举两个0为无穷小虚极限的例子:
例3:f(x)＝x是定义于(0，1］区间的函数，当x→0时，f(x)的函数极限为0，考察0是f(x)的实极限还是虚极限?可知f(x)的函值极限不存在，所以0是该无穷小的虚极限。
例4:f(x)＝1/x当x→∞时的极限为0，这是习题中最会经常运用到的无穷小，那么，0是f(x)的实极限还是虚极限?由于f(x)的定义域为实数系，在实数范围内，必有1/x＞0，所以f(x)的函值极限不存在，所以在实数系内，0是该无穷小的虚极限。
综上所述，无穷小函数实际上可以分为两类，一类是0为无穷小的实极限，一类是0为无穷小的虚极限。
因此给出无穷小的判定法则:如果0是函数f(x)的实极限，则称f(x)为实无穷小。如果0是函数f(x)的虚极限，则称f(x)为虚无穷小。
实无穷小与虚无穷小的概念对于本系统来说至关重要，在习题中会经常运用到并将会贯穿始终。

门外汉

微积分3.0版本(十二):实无穷小与虚无穷小的数学意义
在前文中将无穷小概念划分成了两种类型，一种是实无穷小，一种是虚无穷小，那么，这样划分的意义是什么?为什么一定要做这样的划分呢?
微积分本质上是以无穷小思想为核心创建的分析学科，然尔，无穷小概念从诞生之初便伴随着逻辑上的矛盾，虽然现代微积分已经严格定义了极限概念，然尔，对于无穷小究竟是0还是非0的疑惑和质疑一直都没有真正停止过，典型的例子就是0.999……究竟是不是等于1的问题，极多的人从直观上认为二者之间应该相差一个无穷小量从而不相等，而严格的实数理论认为二者之间相差为0，从而严格相等。
这种论争实质上是潜无穷与实无穷之间的论争。
在前文中列举了很多实极限的函数，这代表的是实无穷类型的函数，也列举了很多虚极限的函数，这代表的是潜无穷类型的函数。实际上，微积分自诞生之初便是潜无穷函数与实无穷函数并行发展的，只不过微积分历来是以潜无穷思想为总体指导原则的，所以长期以来并没有将这两种不同类型的函数严格区分开来。
现在的状况是:如果不将这两种不同类型的函数严格区分开来，就会在习题应中出现潜无穷思想与实无穷思想混合误用的问题，从而出现逻辑混乱。
以无穷小函数为例，实无穷小代表的是实无穷思想，而虚无穷小代表的是潜无穷思想。
虚无穷小的数学含义是:f(x)无限地趋近于0，而永远都不能等于0。即有f(x)恒大于0，这是绝对的非0。
而实无穷小的数学含义是:f(x)无限地趋近于0，并最终等于0，即有f(xо)＝0，即:实无穷小严格地等于0，而不是介于0与非0之间的模糊概念。
因此，实无穷小与虚无穷小的本质区别，严格划分出了无穷小在0与非0之间的界线，这条界线是显性的，可以严格判定的，是界线分明的，从而避免了在以后的习题应用中出现混合运用而发生逻辑混乱的状况。

jzkyllcjl

还需要讲 你的无穷小在计算瞬时速度时的 应用！

门外汉

jzkyllcjl 发表于 2019-3-12 13:27
还需要讲 你的无穷小在计算瞬时速度时的 应用！

快讲到那里了，而且还是重点呢

门外汉

微积分3.0版本(十三):无穷小逻辑运算法则
本升级版微积分3.0系统自2019年3月7日正式开笔奠基，几经斟酌，现正式将微积分3.0系统定名为《函值极限论》。
现给出函值极限论的一条简要发展脉络:首先参照现代微积分2.0版本中原有的极限定义，构建了全新概念函值极限的定义，再依据函值极限的定义给出了实极限与虚极限的定义，将原有系统中的函数划分为实无穷类函数和潜无穷类函数两大类，再根据实极限与虚极限的定义将无穷小函数划分为实无穷小和虚无穷小，严格划清了二者之间是0与非0的界线。
至此，本微积分3.0系统函值极限论已宣告正式与原版本微积分2.0系统分道扬镳，朝着各自不同的方向发展。
由于在开篇介绍中提到，如果在原有微积分系统中对无穷小是0与非0之间的界线分辩不清，就会发生混合误用的情况而引起逻辑混乱，因此本系统中严格划分出了实无穷小和虚无穷小，由此便需要重新给出无穷小的逻辑运算法则，这就涉及到实无穷小与虚无穷小的混合运算问题，此类问题在原微积分系统中无先例可循，唯有进行逻辑验证以判断其真伪，本着大胆假设，小心求证的原则，下面给出实无穷小与虚无穷小的混合运算法则:
①:加法则:
(1):实无穷小加实无穷小等于实无穷小，实无穷小严格等于0。
(2):实无穷小加虚无穷小等于虚无穷小，虚无穷小严格大于0。
(3):虚无穷小加虚无穷小等于虚无穷小，虚无穷小严格大于0。
②:减法则:
(1):实无小减实无穷小等于0。
(2):实无穷小减虚无穷小的绝对值大于0。
(3):虚无穷小减实无穷小大于0。
(4):虚无穷小减虚无穷小，若二者同阶，则等于0，若二者不同阶，其绝对值大于0。
③:乘法则:
(1):实无穷小乘以实无穷小等于0。
(2):实无穷小乘以仼何数皆严格等于0。
(3):虚无穷小乘以虚无穷小大于0。
(4):虚无穷小乘以任意实数，值不固定，但值域仍然在实数范围内。
④:商法则:
(1):实无穷小因为严格等于0，不能做除数，虚无穷小因为严格大于0，可以做为除数。
(2):实无穷小除以虚无穷小等于0。
(3):虚无穷小除以虚无穷小，若二者同阶，等于1，若分子为高阶无穷小而分母为低阶无穷小，二者相除等于虚无穷小，若分子为低阶无穷小而分母为高阶无穷小，二者相除等于正无穷，正无穷为二者相除的虚极限(此条待讲到无穷大时会进一步论证)
(4):非0实数除以虚无穷小，其绝对值为正实数，虚无穷小除以非0实数，其绝对值为正实数。
以上列出了实无穷小与虚无穷小的四则混合运算法则，未经过严格证明，有待于日后在习题应用中逐条进行逻辑验证。
无穷小的逻辑运算法则或有遗漏或错误之处，如果发现，会及时补充或进行修正。

门外汉

函值极限论(十四):再次论证实无穷小与虚无穷小的逻辑运算法则:
由于本微积分3.0系统已经正式命名为《函值极限论》，所以此后的小节标题由“微积分3.0版本”改为“函值极限论”。

在函值极限论中，给出了一个关于无穷小的重要论断:虚无穷小无限趋近于0但永远大于0，即f(x)＞0，我们将它标记为0'，读做非0。而实无穷小无限趋近于0并且等于0，即f(x)≥0。
所以，虚无穷小严格大于0，而实无穷小严格等于0。
下面再次验证实无穷小与虚无穷小的四则逻辑运算法则:
①:加法则:
(1):实无穷小加实无穷小等于0
验证:实无穷小严格等于0，所以实无穷小加实无穷小＝0＋0＝0。
(2):实无穷小加虚无穷小大于0。
验证:实无穷小严格等于0，而虚无穷小严格大于0，所以实无穷小加虚无穷小＝0＋0'＝0'，0'大于0。
在这里，虚无穷小不是一个实数，是一个以0为虚极限的变量，它永远都不能等于0，所以在运算时，可以将它近似地看做是一个大于0的极小的正实数(实质上不是)，这样做是为了方便计算而采取的一个小技巧。
(3):虚无穷小加虚无穷小＝0'＋0'＝0'＞0。
②:减法则:
(1):实无穷小减实无穷小＝0－0＝0。
(2):实无穷小减虚无穷小的绝对值大于0，
验证:0－0'＝|0－0'|＝0'＞0。
在这里，0－0'为负值，无实际意义，所以使它的绝对值大于0。
(3):虚无穷小减实无穷小＝0'－0＞0。
(4):虚无穷小减虚无穷小，要做具体分析。
由于实无穷小严格等于0，所以实无穷小没有高阶和低阶之分，但虚无穷小则有高阶低阶之分。
若二者同阶，则二者相减或者等于0，或者大于0(要根据实际函数具体分析)，若二者不同阶，则二者相减不为0，高阶无穷小减低阶无穷小必然大于0，而低阶无穷小减高阶无穷小为负值，其绝对值大于0。(注:第十三小节中此条有错误，这里给予修正)
③乘法则:
(1):实无穷小乘以实无穷小＝0×0＝0。
(2):实无穷小乘以任何数皆为0，因为实无穷小严格等于0，而实数0乘以任何数皆等于0。
(3):虚无穷小乘以虚无穷小大于0，0'×0'，两个大于0的数(实质上不是实数)必然大于0，不能等于0。
(4):虚无穷小乘以仼意非0实数，这是一个不定式，值不固定，解此题的技巧是:将虚无穷小近似看是一个极小的正实数(实质不是)，实数乘以实数必然是一个实数(说明:其值不是一个固定的实数)。
④商法则:
(1):实无穷小因为严格等于0，它不能做除数，否则无意义。而虚无穷小因为严格大于0，可以做除数。
(2):实无穷小除以虚无穷小等于0，因为实无穷小严格等于0，而0做为分子时，无论分母是什么，其值都等于0。
(3):虚无穷小除以虚无穷小，这种类型需要具体问题具体分析(第十三小节中此条结论错误，同阶相除等于1的结论未必正确)，若分子为高阶无穷小而分母为低阶无穷小，二者相除等于虚无穷小，因为分子分母不为0，其值必然不是0，而是无限趋近于0。若分子为低阶无穷小而分母为高阶无穷小，其值也不为0，而是趋向于正无穷，但其值仍为正实数。
(4):非0实数除以虚无穷小，这种类型也要具体问题具体分析，由于分子分母皆不为0，所以其值必不为0，而是趋向于0或者是其绝对值趋向于正无穷。
以上为实无穷小与虚无穷小的混合逻辑运算法则，由于这种类型题目在原系统中无先例可循，所以运算法则或有遗漏或有错误，一只能依靠逻辑验证，以进一步修正。

elim

楼主需要对提及的概念给出不依赖具体无穷操作的定义．有关相等或不等的断言应该是逻辑结果而不是政策．

门外汉

函值极限论(十五):无穷小逻辑运算典型例题分析
在这里，给出一个无穷小逻辑运算的典型例题进行分析，对于其它形式的例题，可以参照此例题的思路，触类旁通，进行逻辑推演。
例题:lim(x→0)(x^2)/x＝0。
讲解:函数f(x)＝x^2是函数f(x)＝x当二者同时趋于0的高阶无穷小，当x→0时，x^2趋向于0的速度比x趋向于0的速度快得多，所以二者比值的极限为0。
由前两节中实无穷小与虚无穷小的逻辑运算法则可知，分母f(x)不能是实无穷小，如果f(x)是实无穷小，则严格地等于0，造成分母为0的矛盾，所以f(x)只能为虚无穷小，相对应的，f(x^2)也为虚无穷小。
所以二者比值的极限0，它是一个虚极限。也即是f(x)＝(x^2)/x当x→0的函值极限Jo不存在。
在这里，lim(x→0)(x^2)/x＝0，会存在一个极大的误解，即认为它的结果就是实数0，而这个解读是错误的，因为0是该函数的虚极限，而虚极限的意思是无限地趋近于0而永远不能等于0的意思，所以它实际的结为为0'，即非0，大于0。
另外，在极限运算式中，如果x^2在分子的位置上，x在分母的位置上，二者不能直接相约，即(x^2)/x相约的结果为x，而x＞0，如果二者相约的结果等于0，则存在逻辑错误，此种错误在极限运算式中一定要避免，否则会引起逻辑混乱。

门外汉

elim 发表于 2019-3-14 00:17
楼主需要对提及的概念给出不依赖具体无穷操作的定义．有关相等或不等的断言应该是逻辑结果而不是政策．

请举例说明