夏道行在为康托帮倒忙

awei

[color=#0000FF]如果你改变不了世界，就请您改变自己吧。对自然数的重新审视，也许可以改变人类对于宇宙和自身的认识，所以很难。文明在进步之中，呵呵！真就是真，假就是假，有就是有，无就是无。倔强的数学，如何让数学学会在直线和圆环中跳跃，鬼知道！呵呵！

数学小不点

awei 言之有理！但康托尔的理论已经自成体系，存在某种质疑，本身就是要求彻底解决矛盾的内因，但数学发展到最后，更多的是信仰和一定程度上的实用。如果能够自洽，当然，承认其他理论也无不可。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
或者说：我们只谈潜无穷，这样就可以避免出现争锋相对的矛盾，但近代数学似乎已经倾向于接受康托尔的理论，虽然也有人质疑。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/10/17 06:57pm 第 3 次编辑]

[color=#DC143C]
陆教授说：
“这是集合论中的规定，我们承认集合论，就必须接受这样的结论。”


[color=#00008B]

说的很好，是规定的，就是纯粹是主观决定的。至于是否合理都可以不问。
在没发现其不合理时，可以遵守这样的规定，一旦发现其存在不合理的因素，并且找到一个比其更合理的表示观点，就应该修改规定。



[color=#00008B]文字

elimqiu

其实陆老师或者zhaolu48 是拿不出‘集合元数’比较的新规定的。要不要试一试？
说这是‘规定’不是不可以，不过要记住，数学的规定要自洽。这就是说即使是规定，也不是纯主观的，任意的东西。

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2010/10/17 07:16am 发表的内容：
{2,4,…,2Ω}到{1,2,…,2Ω}有没有一一对应靠
2n ←→ n 不能建立{2,4,…,2Ω}与{1,2,…,2Ω}间的一一对应
来说明是不够的。

对！仅仅用“无法建立 2n ←→ n 的对应”来证明“ {2,4,…,2Ω} 与 {1,2,…,2Ω}
不一一对应”，是不够的。我在前面帖子中，不过是顺应一般人的直观想法，说说而已。
其实，这个命题严格的证明，要用到非标准分析中的“转换公理”。
参看我在《数学中国》《基础数学》中发表的帖子：
非标准分析中的“转换公理”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=10651

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/10/17 08:15pm 第 1 次编辑]

我感觉不是那条公理与集合论不相容，就是对那条公理的解读有问题。
设 {1,…,Ω} 的基数是 ω 那么 &#160;ω< &#160;ω + ω,就是 luyuanhong 的论断。
我很感兴趣的问题是 ω + ω 与 2^ω 的比较。

elimqiu

下面引用由luyuanhong在 2010/10/17 00:10pm 发表的内容：
如果我们愿意接受非标准分析的观点，承认有无穷大整数的存在，考虑具体的
集合 A={1,2,3,…,2Ω-1,2Ω} 与 集合 B={2,4,6,…,2Ω-2,2Ω} 中的整数是不是
“一样多”的问题，那么，楼主的想法，还是有一些道理的　...

Ω 与 Ω+1/2 被指定为整数的理由是一样多的。
就算承认超自然数， 在那样的系统里 N 与 {2,4,6,…} 的元数还是一样多么。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
所以 zhaolu48 的一些道理也还是没有什么道理。
有限和无限的本质区别靠搞扩充来去除我看没有可能性。
实无穷甚至可以定义为与真子集对等。

数学小不点

康托尔的理论从一一对应出发来作比较，当然可以得到一种自成体系的理论；问题是：一些人接受无限集合可以与其真子集一一对应，另一部分人总有一些怀疑，如果我们把所有的偶数与奇数做到了一一对应，则整体就会等于部分，这在有限集合中根本不会出现，无限集合性质迥异，往往令人心生疑窦。因为一一对应的选择有一定的任意性，如果换一种方式，则做不到一一对应，夏道行老师泛函分析中的介绍本身并无问题，如果存在一种一一对应的方式，当然，这里就必须首先选择：只要找到一种方式可以一一对应，就可以做出判定；但为什么我们要舍弃其他许多种其实不能做到一一对应的方式呢？只恐康托尔并不好回答，所以当初他的理论已提出就受到了当时一些著名数学家强烈的批评，从某种逻辑上来说：其理论能够自洽，从另一种逻辑来说，其理论荒谬绝伦。问题是现在我们又找不到更好的办法来研究无限集合，如elimqiu 所说：其实陆老师或者zhaolu48 是拿不出‘集合元数’比较的新规定的。要不要试一试？
我想：既然没有找到更好的理论来研究无限集合，那就不妨先使用一下康托尔的理论，当将来有了更好的理论再说也无不可。

elimqiu

下面引用由数学小不点在 2010/10/17 10:44pm 发表的内容：
当然，这里就必须首先选择：只要找到一种方式可以一一对应，就可以做出判定；但为什么我们要舍弃其他许多种其实不能做到一一对应的方式呢？只恐康托尔并不好回答，所以当初他的理论已提出就受到了当时一些著名数学家强烈的批评，从某种逻辑上来说：其理论能够自洽，从另一种逻辑来说，其理论荒谬绝伦

其实基数的比较理论的合理性基于下列考虑：
（1）符合朴素的有限的计数现实
（2）集合的子集的基数不大于该集合的基数
（3）无限集合的基数大于有限集合的基数
（4）对任意基数 a, b， 关系 a < b, a = b, b < a 有且仅有一个成立。
现行基数的定义和基数的序定义满足这几条。所以不是认为荒谬就荒谬，认为合理就合理的。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
所以基数理论不是无视某些对应，偏好另一些对应。 这需要明白（4）的意义（最好理解其证明）

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/10/24 02:35pm 第 1 次编辑]


跟帖者都没有仔细看看我的主帖：
“把‘全体自然数那么多的位子’依次用自然数编号。
　　一、先把偶数2,4,6,…对应放到编号为2,4,6,…的位子上，编号为奇数的位子空着，那么就有全体奇数那么多的空位。
　　二、然后再把偶数2,4,6,…向前移动，依次移动到编号为1,2,3,…的位子上，空位都串到了后面，空位的数目不会减少，即这后面奇数那么多的空位已经没有偶数可放。
　　因此偶数和自然数‘不能一样多’！”
跟帖者请回答：把空位串到后面，就不存在了吗？