设 ω=cos2π/7+isin2π/7 ，求 (2-ω)(2-ω^3)(2-ω^5) 的值

dodonaomiki

Ysu2008 发表于 2016-6-5 03:58
我刚才发了一个解法，然后感觉似乎没做对就删除了。
你试试把复数化为指数形式呢。

你既然想到了这个方向，不妨往指数方向考虑！


我想到的，是：矩阵方向

波斯猫猫

作出2-ω、2-ω^3及2-ω^5所示的向量，再看看它们的关系。似乎不存在明确的关联。可考虑数据有误。即使改为求(1-ω)(1-ω^3)(1-ω^5)的值，似乎也只能得到aω的形式。

dodonaomiki

波斯猫猫 发表于 2016-6-5 11:29
作出2-ω、2-ω^3及2-ω^5所示的向量，再看看它们的关系。似乎不存在明确的关联。可考虑数据有误。即使改为 ...

一个1，失误，写成2，有可能！
但是三个1，都失误，都写成2，没可能！

不要改变原题啦！想想办法，怎么破解原题吧，毕竟人多力量大！老毛说的

dodonaomiki

尝试性的

去得到结果

angel_phoenix88

由ω的复数可以知道ω是
x^7=1的一个复数解
ω^7=1,ω^8=ω
可以得到ω^6+ω^5+ω^4+ω^3+ω^2+ω+1=0

(2-ω)(2－ω^3)(2-ω^5)=(2-ω)(4－2ω^3－2ω^5+ω)

=8+2(ω-2ω^3－2ω^5)-4ω+(2ω∧4+2ω∧6－ω∧2)
=6－6ω∧5－6ω∧3-3ω∧2-4ω

angel_phoenix88

由ω的复数表达式可以知道ω是
x^7=1的一个复数解
ω^7=1,ω^8=ω(1)
可以得到ω^6+ω^5+ω^4+ω^3+ω^2+ω+1=0(2)

(2-ω)(2－ω^3)(2-ω^5)=(2-ω)(4－2ω^3－2ω^5+ω)

=8+2(ω-2ω^3－2ω^5)-4ω+(2ω∧4+2ω∧6－ω∧2)
=6－6ω∧5－6ω∧3-3ω∧2-4ω(5)
1+ω∧4=2cos(4π/7)ω^2(3)
1+ω^2=2cos(2π/7)ω(4)
利用(3)(4)继续化简(5),可以化简成a+bω形式

angel_phoenix88

6－6ω∧5－6ω∧3-3ω∧2-4ω
＝6-(12cos(4π/7)+6)ω^3－3ω2+2ω
=6-(12cos(4π/7)+6)((2cos2π/7)ω∧2-ω)-3ω∧2+2ω
＝6－(24cos(4π/7)cos(2π/7)+12cos(2π/7)+3)ω∧2+(12cos(4π/7)＋8)ω

＝6－(24cos(4π/7)cos(2π/7)+12cos(2π/7)+3)(2cos(2π/7)ω－1)+(12cos(4π/7)＋8)ω
＝