求证：a=0.1234567891011121314...=10/81

王守恩

说得不够明确，补充几句。
1、        我们用a=0.1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,1,1,1,2，……
表示第1位上的数字是1,第2位上的数字是2,第3位上的数字是3,……
第10位上的数字是1, 第11位上的数字是0, 第12位上的数字是1,……
则a是无限循环小数.
2、        我们用a=0.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，……
表示第1位上的数字是1,第2位上的数字是2,第3位上的数字是3,……
第10位上的数字是10, 第11位上的数字是11, 第12位上的数字是12,……
则a=10/81.
3、        我们用a=0.1,2,4,8,16,32,64,128,256,……
表示第1位上的数字是1,第2位上的数字是2,第3位上的数字是4，
第4位上的数字是8，第5位上的数字是16, 第6位上的数字是32,……
则a=1/8.
4、        总结，在这里，我们大胆约定某个数位上的数字不是一位数，而是多位数，即某个多位数挤占在某个数位上，赖着不动，没有往高位上进。更进一步
5、        我们用a=0.1+2,3+4,5+6,7+8,9+10,11+12,13+14，……
表示第1位上的数字是1+2,第2位上的数字是3+4,第3位上的数字是5+6,
第4位上的数字是7+8，第5位上的数字是9+10, 第6位上的数字是11+12,……
则a=130/81.
6、我们用a=0.1+2+3,4+5+6,7+8+9,10+11+12,……
表示第1位上的数字是1+2+3,第2位上的数字是4+5+6,第3位上的数字是7+8+9,第4位上的数字是10+11+12,……
则a=1440/81.
7、        再总结，以上我们进行的运算都是约定十进制为基的，只是某个数位上的数字是自由的，如果我们约定还有另外一些基，
如根号10：则（根号10）=100根号10=10 ，（根号10）4=10000 根号10=100 ，
（根号10）6=1000000根号10=1000

drc2000回来

王先生，你为什么不用代数语言来说话呢？
事实上：
①0.123456789...可用级数：
1/10+2/100+3/1000+...
来表达,

②0.1248...
可用无穷递缩的等比数列的和:
1/10+2/100+4/1000+8/1000+...

而
③a=0.1+2,3+4,5+6,7+8,9+10,11+12,13+14，……
就表达为级数和:  
(1+2)/10+(3+4)/100+(5+6)/1000+...,
(其中通项为(4n-1)/10^n)

同样
④a=0.1+2+3,4+5+6,7+8+9,10+11+12,……
就表达为:Σ(9i-3)/10^i,
（i=1，2，3，...）
这样就属于分析与代数可以解决的问题,而不需要引入诸多"自由的","基","约定"等名词

drc2000回来

对于①
   a=0.123456789
10a=1.23456789
两式相减的得
9a=1.111...=10/9
所以a=10/81

对于②,它是首项为0.1,公比为0.2的无穷递缩等比数列的和
a=0.1248(16)...=1/10+1/100+4/1000+...=0.1/(1-0.2)=1/8

对于③,做法类似①
a=(1+2)/10+(3+4)/100+(5+6)/1000+...,
    a    =3/10+7/100+11/1000+...,
10a=3/+7/10+11/100+...,
相减:9a=3+0.4+0.04+0.004...=3.444...=31/9
所以a=31/81

对于④,做法同样类似①
a=0.1+2+3,4+5+6,7+8+9,10+11+12,…
a=Σ(9i-3)/10^i,
10a=Σ(9i-3)/10^(i-1),
相减:9a=6+0.9+0.09+0.999+...=7
a=7/9

从上四例子可看出,
代数或分析是解决问题的 重要工具

王守恩

谢谢高人！根据你的指点，运用如下。其中第4题，还请高人再指点。

drc2000回来

xiamian shi keai de fengeixian
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

王守恩

谢谢高人！其中第4题，还请高人再指点【不是第3题】

luyuanhong

王守恩

    谢谢版主！学生本不会做此类题，现在会做了，谢谢陆老师！

王守恩

luyuanhong 发表于 2016-6-8 17:11

\(陆老师！这分数数列求和可有类似的简便方法？谢谢！分母的通项公式=4n^2-1\)

\(\frac{300}{1*3}+\frac{299}{3*5}+\frac{298}{5*7}+\frac{297}{7*9}+\frac{296}{9*11}+\cdots+\frac{3}{595*597}+\frac{2}{597*599}+\frac{1}{599*601}=?\)

Treenewbee

\[\sum_{n=1}^{300}{\frac{301-n}{4n^2-1}}=\frac{301}{2}*\sum_{n=1}^{300}{(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})}+\frac12*\sum_{n=1}^{300}{(\frac{n-1}{2n-1}-\frac{n+1}{2n+1})}\]