已知当 x∈[-2,1] 时，恒成立不等式 ax^3-x^2+4x+3≥0 ，求实数 a 的取值范围

195912

dodonaomik:
      当a=-1.5时,若x∈[-2,1]，有
      f(x)=-1.5x^3-x^2+4x+3<0？
请举例
       x=?
       f(x)<o ?
也许，我该尊称你一声先生，可数学的公理系统内没有咒语。

luyuanhong

195912 发表于 2016-6-13 15:55
dodonaomik:
      当a=-1.5时,若x∈[-2,1]，有
      f(x)=-1.5x^3-x^2+4x+3

请举例
       x=?
        f(x)<o ?
也许，我该尊称你一声先生，可数学的公理系统内没有咒语。

请你仔细看一下第 10 楼的函数图像。

当 a=1.5 时，f(x)=-1.5x^3-x^2+4x+3 。

这时，虽然在区间的两个端点处，有 f(-2)=3＞0 ，f(1)=9/2＞0 ，

但是在区间 [-2,1] 的内部，却会有 f(x)＜0 ，例如当 x=-1∈[-2,1] 时，

就有 f(-1)=-1.5(-1)^3-(-1)^2+4(-1)+3=-0.5＜0 。

195912

感谢luyuanhong先生的点评，同时与大家一起探讨，下述论证，是否更为完善？
题: x 是在 [-2,1] , 不等式 ax^3-x^2+4x+3>= 0 恆成立, 求實數 a 的取值範圍 ?
解:因为
        ax^3-x^2+4x+3≥0,x∈[-2,1]
由于，x=0时，
        ax^3-x^2+4x+3≥0,
成立，不失一般，可设
        f(x)=(x^2-4x-3)/x^3 ,x≠0,
令
         t=1/x
则
       f(t)=-3t^3-4t^2+t
所以
       f ' (t)=-9t^2-8t+1
显然，f ’(t)的对称轴为
       t=-4/9
f ’(t)的零点为
       t_1=-1,t_2=1/9
所以，f ’(t)在闭区间[-1,-1/2]是增函数，即f(x)在闭区间[-2,-1]是减函数，所以，当
       t=-1,f ' (t)_min=0,
这样，便有
        x=-1,f(-1)_min=((-1)^3-4(-1)-3)/(-1)^3 =-2
所以，
           a≤-2,
在闭区间[-1/2,1/9]f ’(t)有最小值，由于
         t=1/9,x=9
不符合题意，在闭区间[1/9,1],有
          [f '(1)]_min=-16
所以，在闭区间[1,9]，有
          [f(1)]_min=(1-4-3)/1=-6
即
            a≥-6,
综上所述，有a∈[-6,-2].

luyuanhong

谢谢楼上 195912 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

195912

13楼的论述还是欠严谨，笔者以<<一道竞赛题的探讨>>，专帖与大家一起探讨。