非标准分析中的“转换公理”

elimqiu

看不出来超归纳法是什么了。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
到底‘转换’出来的归纳法怎么陈述？

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2010/10/18 02:44am 发表的内容：
我们来证明一下在超自然数系统里超归纳法不成立。
令S 如上贴。 那么 1 ∈ S, 如果 n ∈ S, 那么 Ω- n 是无穷大自然数，故 Ω- （n+1）也是无穷大自然数，所以 n+1 ∈ S。 如果超归纳法成立，那么  S 就应该含　...

    将“转换公理”应用于数学归纳法，不是仅仅在“n→n+1”这一步中，把“自然数”
转换成“超自然数”就可以了，而是要把一个数学归纳法证明的前提、推导过程、结论中
用到的所有的标准分析的概念，都转换成非标准分析中相应的扩张后的概念。
    如果完全按照上述要求作转换，就没有问题了。
    参看我在上面第 9 楼帖子中的例 2 。

elimqiu

下面引用由luyuanhong在 2010/10/18 00:03pm 发表的内容：
    将“转换公理”应用于数学归纳法，不是仅仅在“n→n+1”这一步中，把“自然数”
转换成“超自然数”就可以了，而是要把一个数学归纳法证明的前提、推导过程、结论中
用到的所有的标准分析的概念，都转换成非 ...

具体说就是： 如果S是一个超自然数的集合，1在S中并且n在S中可以推出n+1在S中，那么S包含所有超自然数。
而超自然数就是普通自然数加上Ω±n (n是普通自然数). 是这样吗？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/18 03:27pm 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/10/18 05:35am 发表的内容：
具体说就是： 如果S是一个超自然数的集合，1在S中并且n在S中可以推出n+1在S中，那么S包含所有超自然数。
而超自然数就是普通自然数加上Ω±n (n是普通自然数). 是这样吗？

超自然数不仅仅包含 Ω±n ，还包含
2Ω ,3Ω ,nΩ ，Ω^2 ，Ω^3 ,Ω^n ，2^Ω , 3^Ω  ,n^Ω , Ω^Ω  ,…… 。

elimqiu

下面引用由luyuanhong在 2010/10/18 03:26pm 发表的内容：
超自然数不仅仅包含 Ω±n ，还包含
2Ω ,3Ω ,nΩ ，Ω^2 ，Ω^3 ,Ω^n ，2^Ω , 3^Ω  ,n^Ω , Ω^Ω  ,…… 。

好干脆说包含Ω的整系数多项式，最高项系数为正。
那么我还是得出超自然数归纳法不成立的结论。

awei

[color=#0000FF]牛顿割尾巴教授加光头，爱因斯坦说过我们只研究自己的宇宙，高手还是手高？这类问题必然会指向一个结论，数量也是受到时间空间制约的，即我们的思维逻辑也是受到时间空间制约的。不是说你想多大就多大想多小就多小，大到一定程度小到一定程度，必有界限制约。最有价值的东东是找出制约的那个点，而不是自圆其说，数学最终目的是寻找最简单方法解决问题，而不是绕来绕去，浪费生命，呵呵！

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/10/18 10:25am 第 1 次编辑]

你的想法其实是物理的。例如拿普朗克常数作为最小正数等等。
数学的简单就在于想多大就多大，多小就多小。否则就惨了，民主集中都搞不定么。

awei

下面引用由elimqiu在 2010/10/18 10:18am 发表的内容：
你的想法其实是物理的。例如拿普朗克常数作为最小正数等等。
数学的简单就在于想多大就多大，多小就多小。否则就惨了，民主集中都搞不定么。

[color=#0000FF]只是好奇，只是看见别人绕得忙乎我也凑凑热闹，数学的复杂也在于想多大就多大，多小就多小，哎···呵呵！

申一言

   数学好玩！
   数学好玩吗？
   瞎玩呗！

elimqiu

下面引用由awei在 2010/10/18 05:36pm 发表的内容：
只是好奇，只是看见别人绕得忙乎我也凑凑热闹，数学的复杂也在于想多大就多大，多小就多小，哎···呵呵！

没错。规定最大最小有政治上的复杂性，不规定则面临数学本身的复杂性。
老毛说世界上的事情是复杂的，是由多方面的因素决定的。老毛要是当年搞数学可能就不那么说了。呵呵。