集合，映射，一一对应， 无穷大

changbaoyu

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elimqiu

我们现在已经有了相当清楚的有限的概念。所以逻辑地就有了相当清楚的无限的概念：
定义： 一个量如果不是有限的，那么它就是无限的。
首先注意一点。有了明确的定义的概念未必就有实际的对应物。举例来说，人面狮身兽的概念很明确，实际上不存在。
那么有没有实在的无限集合呢？ 有没有实在的无穷大量呢？
很难想象，不过这是真的： 这个问题争论了一百多年，还在争！

changbaoyu

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hxl268

发现最小正数推翻百年集论消除2500年芝诺悖论 ——中学重大错误：将无穷多各根本不同的点集误为同一集 黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 ，邮编510631） [摘要]证明了：有最小正数；已知实数轴R的点有大小；实数与R的点远不可一一对应。从而推翻了百年集论立论的论据，使2500年芝诺著名运动世界难题迎刃而解。指出线段（0，k）与数集（0，k）有根本区别，数形结合须跃出根本误区。“点无大小”使初等几何有史以来一直误以为形状与大小相同的图形必全等——使中学有一系列搞错了变量的变域的几百年重大错误：将y=x轴与用而不知的y=2x轴等无穷多各根本不同的数轴以及相应的不同平面误为同一轴、平面；…。指出两数轴之间也有全等与非全等的关系且给出了判断其是否全等的方法。 [关键词]最小正数；用而不知的数轴、平面；推翻“点无大小”公理、百年“R完备”定理、百年集论；有序集内从大到小的每一元；图形的相似及全等变换；变量的变域：芝诺悖论 爱因斯坦：提出一个问题往往比解决一个问题更重要。因为…，而提出新的问题、新的可能，从新的角度去看旧问题，却需有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。由被蒙在鼓里的“没问题”到“有极重大问题”当然是数学认识的飞跃；但目光远大者更关注发现的方法——“渔”。本文改天换地的太重大问题的发现来自于太浅显的集相等的含义：集A=B是说A的元x与B的元y可一一对应相等。故只要懂：函数与集论的基本概念和几何常识：图形的任何变换都是由于组成图的点p都变为新规定的点p′=f（p），就能读懂本文。本文的内容除第5节外基本没超出初等数学范围。 如何定量刻划与描述子弹d射进木柱内后又穿出给木柱钻出了一个洞d′这一事实？设z轴是柱子，那么子弹点d（x，y，z）必先与z轴“接吻”，然后才能进入轴内。然而对这一变化规律，常规数学根本不能定量刻划。点d到z轴的点d′的距离ρ≥0，d进入z轴时ρ=0，但d与轴“接吻”时ρ=？如[1]所述，这说明数学还无法定量描述d的这一空间位置的改变的有序性质。症结就在“点无大小、线无宽度却又能占据空间位置”上。详论见第4节。不能因理论的重大缺陷而否定d的有序变化规律。由大到小取值的ρ≥0不取完变域U的一切正数就绝不能取0，即其必取到无正数可取了，才取0，正如由大到小取值的变域为[-1，1]的x不取0就绝不可取负数一样。不纠正几千年重大错误：U无最小正数，就不能破解2500年芝诺著名运动世界难题。不能真正用数表达运动的相关学科还处于不知其所以然的唯象论阶段。 1.要注意此x>0与彼x>0有根本区别——可视其为0而忽略的x可取一切正数？ 说y=2x>x>x/2>0中的y与x都可一个不漏地遍取所有正数就是说x/2>0和x都可一个不漏地遍比所有正数y都小而取非正数——重大错误。否定此事实者暴露其缺乏起码语文与数学常识。y>x中的y的取数范围是受关系式制约的，y可取一切正数的必要条件是x可<一切正数而取非正数。正如0x表达对于x的变域X的一切数x都有y>x，以及对于y的变域Y的一切数y都有xx中的y可一个不漏地遍取Y的一切数y使代表数的x必可一个不漏地遍比Y的一切y都小而代表（取）Y外的数。代数常识：若代数式y>x中的y代表任何正数则此式所代表的内容之一：有数x<任何正数。 设y1=x>0中的x可取所有正数即任何正数都可由此x代表，问题是y2 =2x>x>0与y3 =x/20中的x可=y1吗？h常识1表明y3 中的x不可取所有正数。关键：y3的x被限制是y3的反函数使其所取的数x都须有别的数x/2与之对应，而独立变量y1=x就不受此约束即其无须与别的变量如x/k（k>1）有函数关系。同理y2 中的x也不可取所有正数。否则就出现重大病句！ 学风不正的竞分数而弃实学者无力认识最起码常识：“对于一切（任何）正数x都有00可<任何正数x而取非正数——重大错误！中学数学竟断定 y=1010x+余项x=x（1010+1）≈1010x+0>>x>0 中与1010x相比实在是总距0太近了以致于可视其为0而忽略不计的x>0可遍取一切正数即断定y的定义域包含一切正数。 设BЭy表示：B的一切（每一）元y，y的变域是B。由上得 h定理1：元为x>0的V+不可既含全部正数而又有V+Эx>x/k>0。 2.极浅显集相等概念揭示中学极重大错误：搞错了无穷多变量的变域——将革命道理形象直观化 一截橡皮筋（橡皮点的集合） 拉长为 后各个点都变长了，但各点之间的前后顺序关系没任何改变。这可看成是一种有序集的元的保序变换。若有序数集A＝B则显然A的元与B的元必可由小（大）到大（小）一一对应相等。 x数轴A各点均由x变为点y=x，x轴就变换为以点y=x为元的y=x轴B=A，但A各点x均保序变为点y=kx（k>0）得y=kx轴还=A吗？设想如一硬币叠压在另一硬币上那样，y=x轴B=R的各点y=x都叠压在x轴A=R的点x上，y轴就叠压在x轴上形成一双轴了。上轴点y=x与下轴点x一一对应相等。现上轴的正半轴R+的点y=x全都离开原位置地沿轴正向保序前移至新位置y=kx=x+△x>x>0形成以点y=kx为元的集Z+（此处的点x变为点y只是改变点的位置），R+显然就至少空出一正数位置y=x=a落在一切前移了的正数点的后面——非常形象直观地表明R+至少有一数a0不可一一对应相等。这就将革命的h定理2形象直观了。 h定理2：元为正数的A的元x>0都保序变大为y（x）=x+△x>x（△x=y-x）得以y为元的B必≠A，且A必至少有一元x0与y=x+△x=x是重合在一起的二变数，现y全都保序变大为y=x+△x>x得B，据保序变换的性质A的各x只可与B的各y中的x一一对应相等而不可与y本身一一…使B≠A。同样，A的x都保序变小为y=x+△xx∈A”明确表达：A中有元x0变为kx所得的集可记为kR。因R≠2R≠（1/2）R≠3R≠…，故R×R≠2R×2R≠2R×R≠2R×3R≠（1/2）R×R≠（1/2）R×（1/2）R≠…。故直线y（x）=kx并非R2的子集而是R×kR的子集。 搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。 3.此点集（a，b）≠彼点集（a，b）——h常识1推翻百年“R完备”定理 应有关于集合的h常识2：无穷集A若只能～B的一部分就说明B至少比A多含一个元。两集不对等就更谈不上相等。 x轴A与它的象y=kx轴A′是否全等？据全等的含义若A的线段[0，b]不≌（全等于）A′的线段[0，b]就证明A不≌A′，正如若甲人左手≠乙人左手就证明甲、乙不是同一人一样。显然有 h推论2：元为实数点的数轴A的象是B，若A～B且A的原点的象是B的原点，同时A的任一线段（a，b）都≌B的线段（a，b）则A≌B。 点集D=Z就是相应两图形可重合相等使两图的点能一一对应重合相等。可重合的两图形必全等，两图若不全等就更不可重合——此几何常识表明有： h定理3：若点集D不≌Z就更≠Z。 y=x轴的线段L=（0，10）的一部分D=（0，1）的各点x均保序变为点y=10x得以点y为元的y=10x轴的线段L′=（0，10） ～D。问题是“L=L′”等等是中学重大错误。理由—— 因L′～D的元10x不可与L的元x一一配对而只能与～D的集的元一一配对（h问题：谁能在x∈L与10x∈L′之间建立一一对应的关系？注：L′各元y=10x的对应数x的全体组成D而非L=D∪[1，10）），故：①据h常识2，L≠L′。②据全等变换的定义，L′不～L就不可有L′≌L从而更不可有L′=L（h定理3）。缘于它们的组成成员不同：L的元是点x而L′的元却是点10x。且极显然：“对于L′从大到小的每一元y=10x>x∈D都有D的正数x标准正数x/k=y>0”直接表达有数0<Ｒ+的所有x，同时也直接表达有“更无理”标准正数y<Ｒ+的所有x。 4.再三论证有最小正数推翻百年集论破解2500年芝诺著名运动世界难题 定义：形如y≡k（y/k）=kx（k≠0）的数y称为凡数而有性质：各y都有对应数 y/k，否则称为非凡数。 形如Ⅰ式：y≡k（y/k）=kx>x>0的正凡数y都有性质：在y与0之间至少有一正数x，即正凡数都至少>一个正数。因1以内的正数x都有对应数kx>x，故可设Ⅰ式的x的变域是D=（0，1），以下证明D中有非凡数： D=（0，1）的元x>0都保序变大为y（x）=kx=x+△x>x∈D 得以y为元的Z～D。Z真的=（0，k>1）=D∪[1，k）=K吗？即定义域为D的y=kx的值域Z=K吗？ ①因Z～D不可～K（参见h问题）而只可～K 的一部分：D以及与D～的集，故据关于集的h常识2，K至少比Z多含一个元（故Z～D是K 的真子集）即K必至少有一x=t不能纳入Z内；且由h定理2，DÌK中必至少有一元xx∈D组成了Z，Z外无凡数∈K，故Z外的正数t∈K必是非凡数而不可至少>一个正数, 即其小至无对应正数t/k∈D，显然t就是最小正数0′而在0与0′之间连一个正数也没有！相应的0′/2等都不代表数，无意义，正如当x=0时c/x不能代表数一样。同样，x±0′/2等等都不是数。详论见[3]。 ②据h常识1，说Ⅰ式的y>x也可一个不漏地遍取D的所有数，那就是说变域为D的x可一个不漏地遍比D的所有数y都小而取D外数——荒唐！故D内必至少有一此y>x（可取K的所有凡数）不可取的非凡数x=0′。证毕。 故“定义域为（0，1）的y（x）=x/k（k>1）与y=x2等等”是不能成立的。应改为“定义域为数轴的线段（0，1）的y=…”。人们在计算中用的数一般都是凡数，但这≠数学本身没有非凡数，正如谁也不能画出长≠0但又短至＜“任意给定的正数ε”的无穷短线段，≠数轴没有此类直线段一样。由小到大取值且变域为(0,1)的变量若没有第一次的取值就绝不能有以后各次的取值，人类不知其第一次取何数，恰恰表明人对变量变化的规律无力把握。 各正数都能由x代表，但代表正数的x都有对应符号x/k≠各正数x都有对应正数x/k。显然y+0′与数y之间没有数。 上述证明中的“（0，1）”换为“R的线段（0，1）”；“…”换为“R的凡数”；“…”换为“R的正凡数都至少>一正数∈R”等；就有 h定理4：x轴R有最小正数点x=⊕使一切⊕/k（k>1）都不∈R而在R外。相应y=kx（正数k≠1）轴有最小正数点y=k⊕。 将“（0，1）”换为“元为正数的集”，…，可证： h定理5：元为正数的集V+均有最小元。由此得 h推论3：由0与正数组成的集都必有最小正数元。故形如ρ≥0的距离函数ρ的变域必有最小正数元。 可见元为实点的任何y数轴T的各正数y若都有比其小的正数y/k（k>1），则并非所有y/k都能还在T内！R的线段（0，1）各元可排为一有首、末项的无穷数列：⊕,2⊕,…，n⊕，…，1-⊕。故x轴是由长为⊕的点组成的。故集论立论的论据被推翻。若⊕有无穷多对应正数⊕/k（k>1）则⊕及>⊕的正数相比下全都是极大极大正数，故x轴的各点远不可与各实数一一对应。当然，⊕是<一切已知正数的关于⊕的一级无穷小正数，1/⊕是>一切已知正数的无穷大正数，⊕2是关于⊕的二级无穷小正数，…。 ⊕=⊕2/⊕=（1/⊕）⊕2是⊕2的1/⊕倍；…；低级无穷小正数无穷大倍于高级无穷小正数，记为 …>>>⊕1/2>>>⊕>>>⊕2>>>…。 ⊕具有既小又大的两重性。R的各一般正数点x均有与之最近的同属R的正数点x+⊕，x±⊕/2等等都不∈R。 如[1]所述将⊕放大1/⊕倍，R就是由长度为1的点组成的，2R是由长为2的点组成的，…。紧挨着的两对点：□□ 、◇◇（还可是长方形等等）的点与点间的距离是它们的中心的连线的长。如水是由水分子组成的那样，R由相对于R来说不可再分的“分子”点组成，分子也是无限可分的，即R的点也是无限可分的：其也是无穷多个更小的点的点集，但凡长≠⊕的点都不是R的“分子”。各点的大小、形状都一样的直线等称为单纯点集，否则称为混合点集，正如糖水内既有水分子也有糖分子那样。对数轴的结构的认识限于篇幅这里只能挂一漏万。 几何常识：沿数轴R运动的点由位置b移至a处必遍经两处之间的一切位置之后才能到达a处。不识2处之间的一切位置的坐标数就根本不能真正用数来表达运动。因R是连续的，故沿轴运动的点x从原点o出发→1必首先与o相隔有穷多个点，然后才能与o相隔无穷多个点，数学断定R的任何正数点位置都与o相隔无穷多个点∈R，这显然抹杀了x有序渐变的连续变化的性质。且自然界中既有飞跃性的突变，更有“冰冻三尺非一日之寒”的渐变。“R的任何已知正数点都与o相隔无穷多个点∈R”才是正确的。 5.搞错正负号会造成重大损失——点的坐标数与点本身有根本区别 据h推论3，xy面R2以及…等相应面上任何过点(0，0)的连续曲、直线上的点(x ,y)到(0，0)的距离ρi（i=1，2，…）≥0的变域Ui中都必有最小正数元——表明各线都有与(0，0)最近的点(x ,y)。R2的点(x≠0 ,y≠0)到(0，0)的距离的平方是ρ2=x2+y2>0，因|x|、|y|能取的最小值都是⊕，故ρ2能取的最小值=2⊕2。故R2的第一象限内与(0，0)“接吻”的点只能是x=y=⊕，同样，…；故存在(0，0)的最小去心邻域h内只能有8个点！ △z=dz+d2z/2！+d3z/3！+…往往是很复杂函数而不能计算出其精确值。故不懂近似计算就不能了解曲面z在一点邻近的结构与形状。研究z在切平面的上方还是下方对于正确画出z很重要。很复杂函数M=△z-dz>0时z在切面的上方，<0时z在…。微积分断定M=d2z/2！+d3z/3！+…与首项同号，在点△x=△y=0的某充分小的（去心、去使d2z=0的点）邻域I内。所以： z(x ,y)=y2+（-104x4）（点p（x,y）的变域是R2使|x|>0、|y|>0都被限制只能取R+内数，z的麦克劳林级数是z本身，曲面z的切平面是z=0x+0y，切点是O（0，0，0））与首项y2>0同号使 （y2-104x4）y2>0………A 在（0，0）的某充分小的（去y=0的点）邻域I内。故满足（y2-104x4）<0的点(x ,y)都不能∈I。将y2=x4>0代入A式则该式不成立说明曲线y2=x4即y=x2的点都不∈I！误以为其有点∈I就会搞错z的正负号而不知曲面z的点O为心的充分小子部的各除y=0的点都在xy面的上方。然而数学断定I必含曲线y=x2>0的点，症结是中学重大错误：断定y=x2中的|x|>0与y都可遍取R的所有正数。 即使是比定量分析低一层次的定性分析也须正确了解函数的正负号，否则连曲面在一点邻近的大致轮廓也搞错了。科学实践中搞错正负号是会造成重大损失的。详论见[4]。 当k是有穷正数时比⊕高级的k2⊕2等都不∈R（R的最小正数是⊕），故当|x|小至=k⊕时y=x2不∈R即I内各点的坐标都不可有关系y=x2∈R。故上述曲线y=x2在x轴R的正投影≠R。同理，|x|∈R+充分小时曲线关系y=x±x2∈R不成立（例如⊕±⊕2不∈R）而代之以直线关系y=x∈R，…。同理在（0，0）的某充分小的去心邻域内能包含过（0，0）的一切直线y=kx的相应子部，却根本不可包含曲线点y=xk（k>1）；…。这揭示有 h推论4：光滑曲线Q的每一元素点p都是与Q切于p的切线的以p为心的相应子部。 一直铁线弯曲为抛物线，显微镜下可知原线某些部分被挤压、某些部分被拉伸了。故抛物线的“像素”点的大小是不尽相同的。“曲线y＝x2的元素点p（0，0）”中的“（0，0）”只是表示点p的空间位置的坐标而非点本身，该点与xy面的元素点（0，0）是有重大区别的，即两点的大小有重大区别。 6.结语 著名科学家周光召：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”线的“基本粒子”的发现说明：须重新认识分形几何、重新认识…、…；“数学，尤其是初等数学领域绝对不可有颠覆性创新”“百年数学公理与定理绝不可被推翻”是使数学停滞不前的思想牢笼、是落后的近视观点。“大（小）疑则大（小）进，不疑则不进。”是至理名言啊！高隆昌教授透露有学而思的数学学生在对书上数轴深入研究、思考后不禁敏锐地产生大疑：“也许人们所走的数系发展道路错了，才使得如今对无穷小结构、无理数表述、连续统认识等等才如此艰难。…，为此他经常想得头发晕，…[5]”。敢于坚持“科学无禁区”的大无畏精神，破除迷信、解放思想，才能创造世界奇迹使数学有质的飞跃。 参考文献 [1]黄小宁，极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。 [2]黄小宁，中学极显然重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2010（7）。 [3]黄小宁，百字推翻五千年数学“常识”：无最小正数[J]，科学咨询，2007年10月第2期：29。 [4]黄小宁，几何常识凸显已知数全体仅为数宇宙的一颗星球[J]，科技信息，2010（11）。 [5]高隆昌，数学及其认识[M]，北京：高等教育出版社，2001.10：135。 [6]黄小宁，再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见：中国精典文库[C]，北京：中国大地出版社：2004.10:814。 [7]黄小宁，百年集论确是"疾病"之理由[J]，科学中国人，2009（4）。 [8]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009（16）:267。 电联:13178840497 E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）

elimqiu

我们的讨论会遇到黄小宁这种5000年一出的白痴。还是很难得的。毕竟5000年出一个么。我怀疑国际社会，首先是我国濒于灭绝的物种的保护机构有没有收到黄小宁要求得到有关保护的申请。个人感觉黄小宁在各方面都够条件的。5000年一出可不平常是吧？再加上难得这么笨，再加上难得文章被发表，再加上难得有人看，再加上难得黑压压地驴滚到了这个主题。这些难得加在一起就更难得。所以如果有关保护机构来人征求群众意见，本人一定推荐黄小宁=hxl268受到应有的保护。

中国绿色和平组织在哪里？怜悯一下黄小宁吧。因为他今天又黄小宁了。
欲知此话咋说，请在网上查一下“你今天黄小宁了么？”

elimqiu

在数学分析中，说一个变量(即函数)f(x)趋于无穷（正无穷大），是指对任给的自然数M, 只要x充分接近某实数a 或x充分大，就有 f(x) > M
根据具体x的趋向，分别记作
lim f(x) = ∞   或  lim f(x) = ∞
x→a                x→∞
从这样的定义知道，数学分析所说的无穷大 ∞ 不是一个数，而是有限概念的否定。
虽然我们常称上定义中的 f 为无穷大量， 严格说来 f 本身并不注定自动变大，它只是在自变量取值有了特别的趋势时才表现为‘任意大’。不能说这样的变量/函数/映射就是无穷大。
我们再来略微感觉一下映射/函数这个近乎多余（脱裤子放屁）的概念是怎么数学地起作用的。
定义域为正整数集合 N+ 的函数叫作序列。如果值域也是数集，又叫数列。于是
f: N+ → R 是数列， 常常记作 { f(n) }
例如 {n} 是一个数列，一个无穷大量； {1/n} 是一个数列，一个无穷小量 （这个概念由无穷大量的类比可以自明）
函数/映射所确定的对应法则未必都由公式给出。技术地说就是未必都是构造性的。以下是一个很有名的传说：
汉诺塔 Hanoi Tower
在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针从下到上地穿好了由大到小的６４片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
我们现在要问，如果从头开始，按每秒完成一片金片的搬动计算，世界末日离我们多远？
搞数学的人有时候是有一点癫狂。这个问题已经不好一下子回答，竟有人还要用更虚无缥缈的函数来表达：
假定金片的数目不是64而是n, 那么游戏规则确定了这种从针x到针y的搬运的最捷工作量f(n). 考虑这样的情形：金片起初都在宝石针0处，经过若干次搬动，宝石针0上面n-1片金片都搬到宝石针1处（按照规定的大小上下秩序），宝石针0剩下最大最后的一片金片。宝石针2依然独身一柱撑天。按照f的定义，我们需要 f(n-1)次搬动来达到这个状态。现在我们把最大最后的那片金片套入宝石针2，然后我们再需要另外f(n-1)次搬动才能把宝石针1处的金片移至宝石针2。这个手续是必要的，又是充分（足够达到目的）的。所以我们得到一个关系式
f(n) = 2f(n-1)+1 即  f(n)+1 = 2(f(n-1)+1)
令 a(n) = f(n)+1 得到 a(n) = 2a(n-1) 即 a(n) = 2^(n-1)a(1)  (n ≥ 1)
注意f(1)=1, a(1)=2. 上面的式子表明 a(n)=2^n  即 f(n) = 2^n-1
所以原问题的答案是我们还有 2^(64)-1 秒。这表明移完这些金片需要5845亿年以上。

数学小不点

这些东西教材里都有，你贴到这做什么？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
这道题科普书上早有记载，是不是你贴出来应该注明出处要更好一些？

elimqiu

下面引用由数学小不点在 2010/10/23 09:02pm 发表的内容：
这些东西教材里都有，你贴到这做什么？-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在  时添加 -=-=-=-=-
这道题科普书上早有记载，是不是你贴出来应该注明出处要更好一些？

这个论坛上的东西书上差不多都有。还要这么多贴干吗？ 出处么说了: 查‘汉诺塔’。

这么多书上有，不是还让很多人似懂非懂的？ 要问我的目的，仔细看看主贴。

数学小不点

不错，确实有个汉诺诺，我记得我小时候就在科普书中读过这样的故事。

elimqiu

我们知道

（0）量x有限就是存在某自然数n使得 |x| < n,集合有限就是其元素的个数是一个自然数。
（1）最基本的无穷就是有穷/有限概念的否定。
（2）不能说作为无穷大量的变量/函数/映射就是无穷大。

明确的概念未必有对于的实体。例如人面狮身兽是明确的概念但没有对应的实际体现。
那么我们是不是认为真有一些非有限的集合？例如全体正整数，平面上某圆周上的点，数轴上的点，它们是不是集合？
有些人包括一些很有成就的数学家不承认这些‘集合’的存在性。他们说，这些集合都是有限集，只是在不断地自我增长中，这个过程不会完成。对于他们来说，无穷是潜在的，不是现成的。
在数学界人们称这种主张为潜无穷论。从其更完整的哲学主张，这被称为（数学的）直觉主义。
直觉主义认为数学的存在在于心灵中对数学对象的可构造性。因此数学对象的存在只能是增长中的有限。直觉主义也因此否定任何非构造性的‘对象’以及非有限情形的排中律。
直觉主义的数学显然可靠，可操作。为计算机科学提供了合适的基础和技术。但是这里的直觉并不是通常意义上的‘直觉’。例如由 π的非构造性本质就否定其存在未必就符合普通意义上的直觉。
直觉主义的数学显然是对通常理解的经典数学的一个极大的限制。