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发表于 2017-6-28 17:56
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本帖最后由 elim 于 2017-7-15 16:15 编辑
主贴给出的构造，很难摆脱”故弄玄虚“的干系。所以需要一些解说。
在有实数理论以前，实数已经是数学家们的家常便饭。人们把实数系当作天经地义的数学平台。从那时对实数的使用来看，虽然用词没有那么精准，人们对实数系的共识是：
自然数系含于整数系，整数系含于有理数系，有理数系含于实数系，而实数系是具有最小上界性的阿基米德有序域 R。也就是说，实数系由称作实数的数学对象组成，它具有两种基本运算 +, × （a×b 简记为 ab), R 对这两种运算封闭(任何这两种运算的结果唯一，且还是实数，还在 R 中).
它们的代数性质是：对任意 a,b,c ∈ R,
a + b = b + a, ab = ba; (交换律)
a+(b+c) = (a+b)+c, a(bc)=(ac)b; (结合律)
存在 0, 1 ∈ R (0≠1) 使
0+a = a, 1a = a (幺元)
存在 a'∈ R 使 a + a' = 0, 记 a' 为 -a (加法逆)
对 a ≠ 0, 存在 a* 使 a a* = 1, 记 a* 为 a^{-1} 或 1/a (乘法逆)
R 中的元素存在序关系 ≥ (用 > 表示 “≥ 但 ≠ ”, 用 b < a 表示 a > b)，
满足
a > b, b > a, a = b 有且仅有一种情况发生 (三歧性)
a ≥ a,
a ≥ b, b ≥ a ⇒ a = b,
a ≥ b, b ≥ c ⇒ a ≥ c,
a ≥ b ⇒ a+c ≥ b ≥ c,
a ≥ 0, b ≥ 0 ⇒ ab ≥ 0.
R 的阿基米德性：对任何 a > 0, 存在正整数 n 使得 na > 1.
M ∈ R 叫作 R 的子集 E的上界，如果对每个 x∈ R 有 x ≤ M.
对称地定义下界概念。称 E 是上有界的，如果 E 有上界。对称地定义
下有界集合。既有上界又有下界的集合叫有界集。
若 λ ∈ R 是 E 的上界, 且 (λ'< λ) ⇒ (存在 x ∈ E, x > λ')，则称 λ 为 E 的
最小上界或上确界, 记作 λ = sup E. 对称地定义最大下界即下确界(inf E).
R 的最小上界性： R 的非空上有界的子集必有最小上界.
以上这些共识叫作实数公理。
易见除了最小上界性，有理数系满足全部实数公理. 即 Q 是具有阿基米德性的有序域。
实数理论是从 Q 的存在性出发，根据集合的生成法则，证明满足实数公理的数系存在的理论。
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发表于 2016-8-26 09:11
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