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楼主: wilsony

f 在 [0,1] 可积,m≤f(x)≤M ,x∈[0,1] ,求证:∫f(x)dx∫dx/f(x)≤(m+M)^2/(4mM)

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发表于 2016-9-5 20:21 | 显示全部楼层
谢谢楼上 angel_phoenix88 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。
发表于 2016-9-5 20:58 | 显示全部楼层
luyuanhong 发表于 2016-9-5 12:21
谢谢楼上 angel_phoenix88 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

"∫f(x)dx/M+m*∫1/f(x)dx≤(1+m/M)"这一歩是不对的,
∫f(x)dx/M≤M/M=1 (1)是可以的,
但m*∫1/f(x)dx ≥m/M (2)由(1)(2)不能得出"∫f(x)dx/M+m*∫1/f(x)dx≤(1+m/M)"
发表于 2016-9-5 20:59 | 显示全部楼层
angel_phoenix88 发表于 2016-9-5 11:51
构造函数g(x)=(f(x)-m)*(1/f(x)-1/M)
很显然g(x)在区间(0,1)之间的定积分大于等于零
展开得2sqrt(∫ ...

"∫f(x)dx/M+m*∫1/f(x)dx≤(1+m/M)"这一歩是不对的,
∫f(x)dx/M≤M/M=1 (1)是可以的,
但m*∫1/f(x)dx ≥m/M (2)由(1)(2)不能得出"∫f(x)dx/M+m*∫1/f(x)dx≤(1+m/M)"
发表于 2016-9-5 23:43 | 显示全部楼层
谢谢楼上 ccmmjj 指出问题。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。
发表于 2016-9-6 01:46 | 显示全部楼层

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发表于 2016-9-6 01:47 | 显示全部楼层
ccmmjj 精简版的精简版.
发表于 2016-9-6 06:15 | 显示全部楼层
构造函数g(x)=(f(x)-m)*(1/f(x)-1/M)
左右两侧同时在(0,1)区间定积分
∫g(x)dx=∫(f(x)-m)*(1/f(x)-1/M)dx
左侧大于等于零,右侧分解成四项,可以获得不等式

∫f(x)dx/M+m*∫1/f(x)dx≤(1+m/M)

利用a^2+b^2≥2ab
2sqrt(∫f(x)dx*∫1/f(x)dx*m/M)≤∫f(x)dx/M+m*∫1/f(x)dx
可以获得要证明答案
偷懒少写几步,有朋友质疑了

发表于 2016-9-6 07:00 | 显示全部楼层
angel_phoenix88 发表于 2016-9-5 15:15
构造函数g(x)=(f(x)-m)*(1/f(x)-1/M)
左右两侧同时在(0,1)区间定积分
∫g(x)dx=∫(f(x)-m)*(1/f(x)-1 ...

angel_phoenix88 的证法很好:

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发表于 2016-9-6 09:10 | 显示全部楼层
楼上这样写,才非常明白。这种构造法是很漂亮的。
发表于 2016-9-6 10:00 | 显示全部楼层
楼上 elim 总结的解法很好!我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。
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