[求助]请luyuanhong和elimqiu二位老师审查：这是不是对角线方法的一个疏漏?

elimqiu

下面引用由天茂在 2010/11/01 08:47am 发表的内容：
1、表达方式的统一化，应该是包含某个位置以后各位皆0和各位皆1的情况，而不应该是排除某个位置以后各位皆0和各位皆1的情况。
2、请展示您的证明。

通过这种规范化，可以有某位后皆1，但根本就不可能有某位以后皆0的情况： 0.1=0.011111...

elimqiu

下面引用由天茂在 2010/11/01 08:55am 发表的内容：
假定(0,1]不是不可数，……，所以(0,1]可列。
我们知道可数就是可列，那么，您这一句是不是同义重复呢？

这不过是说没有别的可能。是不是同义反复因人而异。有的人需要这么说才信服，有的人没有问题接受康托的反证法假设，认为这是多余或者同义反复或者废话。这没有关系。重要的是这么说没有导致荒谬。

天茂

下面引用由elimqiu在 2010/11/01 01:59am 发表的内容：
通过这种规范化，可以有某位后皆1，但根本就不可能有某位以后皆0的情况： 0.1=0.011111...

在二进制中，0.1有两种表示法：0.1=0.011111…… 和 0.1=0.10000……

天茂

下面引用由elimqiu在 2010/11/01 02:03am 发表的内容：
这不过是说没有别的可能。是不是同义反复因人而异。有的人需要这么说才信服，有的人没有问题接受康托的反证法假设，认为这是多余或者同义反复或者废话。这没有关系。重要的是这么说没有导致荒谬。

您真的认为“(0,1]不是不可数”的吗？

elimqiu

下面引用由天茂在 2010/11/01 09:05am 发表的内容：
在二进制中，0.1有两种表示法：0.1=0.011111…… 和 0.1=0.10000……

不错，康托的证明需要给每个数一个ID,或者说身份证号码。于是规定只使用0.011111… 表示 0.1. 这样对角线法就没有歧义了。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
这样做当然没有排除任何数。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/11/01 09:46am 第 4 次编辑]

在（0,1) 中的任何一个实数，都可以写成一个有无穷多位二进制小数的数。
注意：即使从某一位以后的小数都是“0”，如“0.1000000000……”同样也应看作有无穷多位小数。
把这些有无穷多位小数的实数，从上到下排列起来，得到一个宽度为无穷大，高度也是无穷大的数阵。
如下面这个样子：
a1＝0.0101010101010101……
a2＝0.1010101010101010……
a3＝0.1001001001001001……
a4＝0.1011011011011011……
a5＝0.1011011011011011……
a6＝0.1000100000000000……
……
这样一个宽度为无穷大，高度也是无穷大的数阵，说什么“方阵”不“方阵”，都是很可笑的。
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“阿列夫0”“阿列夫”都是集合论中的基数，不是数值，不能当作数值来使用。
用“Xi 有阿列夫0位小数”，“全体实数有阿列夫个”，来判断数阵是不是“方阵”等等，
都是没有意义的。
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楼主给出的“（0，1）中二进制小数的排列方法”，其实只包括了所有能表示成有限位
二进制小数的那些实数，并没有包括所有的实数，甚至连有理数，也没有能做到全部包括在内。
例如，有理数 1/3 ，它的二进制小数是 0.01010101… ，请问它在楼主给出的排列方法中，
排在第几个？能不能给出一个具体的数字来？
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要找到一种将全体有理数逐一排列起来的方法，那还是可以的。
但是，不可能找到一种将全体实数逐一排列起来的方法。

ygq的马甲

下面引用由elimqiu在 2010/11/01 02:12am 发表的内容：
不错，康托的证明需要给每个数一个ID,或者说身份证号码。于是规定只使用0.011111… 表示 0.1. 这样对角线法就没有歧义了。

论坛上有人提到过，实数不可数，在点集拓扑学有另外的【证明】。你（elimqiu），看到过这个证明吗 ？？？

elimqiu

实数的拓扑性质引出了范畴之别，拓扑学利用这个概念证明了R的某类子集都不是可数的。

天茂

下面引用由elimqiu在 2010/11/01 02:12am 发表的内容：
不错，康托的证明需要给每个数一个ID,或者说身份证号码。于是规定只使用0.011111… 表示 0.1. 这样对角线法就没有歧义了。
-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在  时添加 -=-=-=-=-
这样做当然没有排除任何数。

如果规定只使用0.011111… 表示 0.1. 这样的规定是正确的。我在文章的第五小节也采取了类似的做法，不同的是，我是留下了0.1，而舍弃了0.011111……，这样更简便一些。
但是，即便如此，所有小数的个数也是2^阿列夫0-1，而不是阿列夫0。而2^阿列夫0-1仍然是大于阿列夫0的。
这就是说，小数排列矩阵的行数大于列数，这不是方阵，因此就不会产生对角线。

elimqiu

下面引用由天茂在 2010/11/01 09:08am 发表的内容：
您真的认为“(0,1]不是不可数”的吗？

我认为(0,1]不可数。但是要用反证法证明这点，就假定0,1]不是不可数，再推出矛盾。这就是康托的思路。