请看一下用"二分法无限分割"得到的有理数集合是否与实数集合对等?

门外汉

看来这个问题很不简单了.我在其他的论坛上发表过这样的问题,那些高水平的数学教授网友们居然对这个问题形成了截然相反的两派观点.

ygq的马甲

下面引用由门外汉在 2010/11/13 07:15pm 发表的内容：
错了,"二分法无限分割"并不是潜无限的专用品,难道实无限就不能用这种方法了吗?
陆教授的意思是说:用这种方法不能得到所有的实数,甚至是不能得到所有的有理数.
但是用这种方法可以得到一个可数无穷个&q ...

* 贴子主题： 请看一下用"二分法无限分割"得到的有理数集合是否与实数集合对等?
你（门外汉）的这个“无限分割”，会是实无限 ？？？
注：潜无限与实无限，在【结论】上会保证“相容性ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ”的

ygq的马甲

下面引用由门外汉在 2010/11/13 07:34pm 发表的内容：
看来这个问题很不简单了.我在其他的论坛上发表过这样的问题,那些高水平的数学教授网友们居然对这个问题形成了截然相反的两派观点.

你（门外汉）的重点，究竟是无限【逼近】 ？？？还是这个【二分法】本身

申一言

1 1/2 1/3,2/3,3/3 1/4,2/4,3/4,4/4 * * * 1/n<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<.

门外汉

下面引用由ygq的马甲在 2010/11/13 07:36pm 发表的内容：
* 贴子主题： 请看一下用"二分法无限分割"得到的有理数集合是否与实数集合对等?
你（门外汉）的这个“无限分割”，会是实无限 ？？？
注：潜无限与实无限，在【结论】上会保证“相容性ｃｏｎｓｉｓｔ　...

我给你看一个数列:{2^1,2^2,2^3,2^4......2^n......}
这便是"二分法无限分割"的每一步操作步骤.
只要这个数列(或者说是集合)中的每一个元素都与全体自然数一一对应,便会认为这种操作方法是实无穷的.

luyuanhong

下面引用由门外汉在 2010/11/13 02:30pm 发表的内容：
陆教授的回答我比较满意.5楼ysr 先生的回答我也好好思考一下.
但还想请教陆教授一个问题,用这种"二分法无限分割"所得到的有理数,不是2^n吗?

用你的“二分法”，作第 1 次分割，得到 1 个分点。
作第 2 次分割，得到 2 个新分点，连同前面已得到的分点，共得到 3 个分点。
作第 3 次分割，得到 4 个新分点，连同前面已得到的分点，共得到 7 个分点。
作第 4 次分割，得到 8 个新分点，连同前面已得到的分点，共得到 15 个分点。
作第 5 次分割，得到 16 个新分点，连同前面已得到的分点，共得到 31 个分点。
………
作第 n 次分割，得到 2^(n-1) 个新分点，连同前面的分点，共得到 2^n-1 个分点。

门外汉

下面引用由ygq的马甲在 2010/11/13 07:38pm 发表的内容：
你（门外汉）的重点，究竟是无限【逼近】 ？？？还是这个【二分法】本身

我不知道你究竟是怎么理解潜无穷与实无穷的.
先说一下我对潜无穷与实无穷的看法:
我们先假设(仅仅是假设)有全体自然数存在.
如果用"二分法无限分割"的方法,潜无穷观点的人会认为这个过程是潜在的,永无止境的,因为用这种方法不能遍历所有的自然数.
而实无穷观点的人会认为这个过程是可以完成的,因为根据这种方法,可以遍历所有的自然数.

luyuanhong

下面引用由门外汉在 2010/11/13 07:31pm 发表的内容：
但是:用我的"二分法无限分割",得到的任何一个数值皆为两整数之比,得不到任何一个无理数.

戴德金分割，指的是用各种各样的方法作分割，不仅仅是用“二分法”作分割，所以会得到无理数。
比如说，按照“平方后小于 2”与“平方后大于等于 2”的标准作分割，得到的分点是 √2，这个
分点 √2 就是一个无理数。
又比如说，按照“圆的直径乘以这个数后小于圆周长”与“圆的直径乘以这个数后大于等于圆周长”
的标准作分割，得到的分点是圆周率 π ，这个分点 π  也是一个无理数。

门外汉

请教一下陆教授:用我的"二分法无限分割"的方法真的不能得到所有的实数吗?
我在另外的一个数学论坛上,有一位专家说用这种方法能得到全体实数,我将他的发言给您复制过来您看一下:
............................................................
(1):从一根完整的线段开始，不断把之前的每一段等分为左右两段，那么任何一个实数都可以找到一个不断折半但始终包含这个实数的无限区间序列，使这个区间序列最终收敛于这个实数，而反过来任何一个不断折半的无限区间序列都必然收敛到一个具体实数上。这就是用二进制小数表达区间中的点。根据定义实数的Dedekind分割，这个过程中根本没有一个实数会被遗漏

[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 门外汉 在 时添加 -=-=-=-=-
另一位专家说的话:切n刀时，线段被分为1/2^n段,当n有限时，无论多大，得到的刀口切点集合，集合元素都是可数的；但是一旦n→∞，这个集合的元素就是不可数的——当然实际上也是不可能完成这样的切割（没有可操作性）。

天茂

下面引用由门外汉在 2010/11/13 07:31pm 发表的内容： 但是:用我的"二分法无限分割",得到的任何一个数值皆为两整数之比,得不到任何一个无理数.

并不是任何道路都可以到达某个预定的目的地的。您的这个方法确实得不到任何一个无理数。 《数学辞海》中的“戴德金分割”词条内容为： 戴德金分割(Dedekindcut) 定义实数的一种方法．指按如下方法将一个有大小顺序的数集(例如实数集或有理数集)分成两部分，具体而言，用S表示有大小顺序的数集，若将S分成两部分A和B，使其满足： 1．A和B都至少含有S中的一个数(不空)； 2．S中的任一数或属于A，或属于B(不漏)； 3．对任意a∈A和任意b∈B，有a