5种颜色5颗珠穿成的环，有几种穿法？

王守恩

王守恩 发表于 2016-10-24 09:08
谢谢天山草

m种颜色n颗珠表格内的数字说明
例：第2列。
2颗珠。颜色可以是1、2两种。有3种穿法。
3颗珠。颜色可以是1、2两种。有4种穿法。
4颗珠。颜色可以是1、2两种。有6种穿法。
5颗珠。颜色可以是1、2两种。有8种穿法。
6颗珠。颜色可以是1、2两种。有13种穿法。
7颗珠。颜色可以是1、2两种。有19种穿法。
8颗珠。颜色可以是1、2两种。有30种穿法。
9颗珠。颜色可以是1、2两种。有46种穿法
... ...

天山草

将程序写成通用型，以补充上面的王守恩表。原表中 m=2， n=7 时是 19，经验证，应该是 18，在下表中已更正。其余数字都对。

此表还没有补充完整。期待找到理论解析公式。
从表中某些数字可以找到部分规律：
例如手串共有 n= 2 颗珠子时，格中数字等于该格的左边加上边，即  f(m, n) = f(m, 2) =  f(m-1, 2) + m。
n=3 时格中数字也等于左边加上边，即  f(m, n) = f(m, 3) = f(m-1, 3) +  f(m, 2)。
n=4 时格中数字等于左边加上边，再加左上，再加左左上。 即   f(m, 4) =  f(m-1, 4) + f(m, 3) +  f(m-1, 3) + f(m-2, 3) 。
n 更大时的规律还没有发现，因为我们还没有得到理论解析公式。

天山草

当 n 确定以后，数列 S(m) 是一个 n 阶等差数列。如果能求出 n 个 s(m) 的值，就能够推出 S(m) 的表达式：

天山草

现在的问题是，由上述资料能否推出一般的 S(m, n) 公式？或者 n≥7 时的 S(m) 公式？

王守恩

天山草 发表于 2016-10-26 18:28
当 n 确定以后，数列 S(m) 是一个 n 阶等差数列。如果能求出 n 个 s(m) 的值，就能够推出 S(m) 的表达式：
...

谢谢天山草先生！你的关注，你的韧劲真是让我佩服。
我还是琢磨，琢磨，把你的东西消化了。

天山草

当 m 和 n 都比较大时，通过运行程序来求出 S(m, n) 的值将不可行，因为需要太多的时间。再说了，不求出 S 的理论表达式，是没有什么价值的。

天山草

        对刚接触本问题的读者说明一下题目是什么意思。
        假定有 3 种颜色（红、绿、黄）的珠子，每种颜色的珠子都足够多。用它们穿手串，每串用 4 颗珠子。
那么共有 21 种穿法，如下图。
        你拿出下图中任意一条手串，无论怎样旋转、翻面，都不会跟图中别的手串完全一样。
        或者说，你用红、绿、黄三色珠子任意穿一个 4 颗珠子的手串，经旋转、翻面，一定会跟下图中的某一个手串完全相同。

王守恩

m种颜色n颗珠

天山草

如果从左到右能够填写出来，那么从上到下我就能填写出来。

天山草

根据王守恩新增加的数表，补齐了 n=7 和 n=8 的数据，并给出了理论计算公式：