[趣题分享]实数的另一种有趣表达方式

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2011/01/03 11:22pm 发表的内容：
  姑且称实数的这种表达方式叫作 !-表达。
  试对每个正整数 n > 1， 确定 ε(n) > 0 使得 |x - y| <  ε(n) 时
  x 和 y 的 !-表达的前 n 项对应相等。

当 x 与 y 的“!-表达”的前 n 项对应相等时，可以证明必有 |x-y|＜1/n！。
但是，反过来，不可能找到 ε(n)＞0 ，使得 |x-y|＜ε(n) 时， x 与 y 的
“!-表达”的前 n 项对应相等。

elimqiu

我们只要像康托那样只考虑无穷的 !-表达，那么楼上的反例就可以化解了。

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2011/01/04 11:46am 发表的内容：
我们只要像康托那样只考虑无穷的 !-表达，那么楼上的反例就可以化解了。

即使规定表达式必须有无穷多项，也不能解决问题，还是可以举出反例。
下面用 10 进制小数来说明问题，设
   x = 1+1/10^m = 1.0000…0000999999…
   y = 1        = 0.9999…9999999999…
两个表达式都有无穷多位小数。
对任何 ε(n)＞0 ，总可以找到足够大的 m ,使得 |x-y|=1/10^m＜ε(n) ，
但 x 与 y 的表达式中，前面各位小数都不相同。

elimqiu

下面引用由luyuanhong在 2011/01/04 10:02pm 发表的内容： 即使规定表达式必须有无穷多项，也不能解决问题，还是可以举出反例。 下面用 10 进制小数来说明问题，设 x = 1+1/10^m = 1.0000…0000999999… y = 1 = 0.9999…9999999999… ...

这不是无限项的“康托理解”。所谓【无限!-表达】，和康托的对角线法所说的无限小数一样，指的是对非0小数排除某项起以后各项都为0的情况。这在10进制中我们知道怎么做，例如 0.1 由 0.0999…取代。相应地在!-表达中，有限!-表达 x = a(1)/1!+a(2)/2!+…+a(m)/m! [a(k)1, 0 < a(m) < m] 就被规范化为 a(1)/1!+a(2)/2!+…+(a(m)-1)/m!+m/(m+1)!+(m+1)/(m+2)!+…+(L-1)/L!+…

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2011/01/04 05:08pm 发表的内容：
这不是无限项的“康托理解”。所谓【无限!-表达】，和康托的对角线法所说的无限小数一样，指的是对非0小数排除某项起以后各项都为0的情况。这在10进制中我们知道怎么做，例如 0.1 由 0.0999…取代。相应地在!-表 ...

设
  x = 1                    +m/(m+1)!+(m+1)/(m+2)!+(m+2)/(m+3)!+…
  y = 1/2!+2/3!+…+(m-1)/m!+m/(m+1)!+(m+1)/(m+2)!+(m+2)/(m+3)!+…
x ,y 的表达式都有无穷多项。
   |x-y| = |1-1/2!-2/3!-…-(m-1)/m!| = 1/m! 。
对任何 ε(n)＞0 ，总可以找到足够大的 m ,使得 |x-y|=1/m!＜ε(n) ，
但 x 与 y 的表达式中，前面各项都不相同。

elimqiu

好例子！这应该是 !-表达 与常数进制不同的地方！

luyuanhong

下面引用由elimqiu在 2011/01/05 03:53am 发表的内容：
好例子！这应该是 !-表达 与常数进制不同的地方！

我觉得，比起常数进位制来，这种“！-表达”的主要优点在于：
（1）在“！-表达”中，凡是有理数都可以用有限项表达出来，凡是无理数
都必须用无穷多项才能表达出来，两者的界限截然分明。而在常数进位制中，
有无穷多位小数的，既可以是有理数，也可以是无理数，分界不是那么清楚。
（2）在“！-表达”中，一些无理数的表达式会出现有规律的变化现象，如
e ，1/e ，cosh1 ，sinh1 ，cos1 ，sin1 等（见第 4 楼中我的帖子）。
而在常数进位制中，这些无理数的小数没有任何规律可言。