求满足方程 x^3+3xy+2009=y^3 的所有整数解

awei

awei 发表于 2017-2-27 12:12
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shuxuestar

由三次方程判断：x^3+px+q=0;

p=3y;q=2009-y^3;


△=(q/2)^2+(p/3)^3

=(2009-y^3)^2/4+y^3;

令y^3=t;

(2009-t)^2/4+t=[(t-2007)^2+8032]/4;

显然△>0;有一实数根..............

shuxuestar

所以方程有实数解。

luyuanhong

angel_phoenix99

x^3+3xy-y^3+2009=0五整数解的证明过程
2009≡2mod3
(x-y)≡(x^3-y^3)≡1mod3(根据欧拉定理)(1)

定义(x-y)=3t+1

表达式可以分解为
(x-y)^3+3xy((x-y)+1)+2009=
27t^3+27t^2+9t+3xy(3t+2)+2010=0
9t^3+9t^2+3t+670+xy(3t+2)=0(2)，(除以共同系数3)
670≡1mod3
xy≡1mod3(2)
满足(2)的可能组合
x≡1mod3且y≡1mod3
或x≡2mod3且y≡2mod2
这两种可能都会对应(x-y)≡0mod3，与(1)矛盾
所以方程无整数解。

利用tmod3只有0.1,2三种取值
xy的9种组合(3^2)产生0,1,2余数分别为5,2,2种，再和(x-y)mod3冲突


通用推论:方程
x^3+3xy+(9m+2)=y^3无整数解

luyuanhong

谢谢楼上 angel_phoenix99 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

朱明君

求滿足方程 x^3+3xy+2033=y^3 的所有整數解

angel_phoenix99

2033≡8mod9，我没证明出无解，xy≡0mod3有五种组合。理论上2028≡5mod9应该无解的

朱明君

设X=25,  Y=27,       则x^3+3xy+2033=y^3

设X=24,  Y=26,       则x^3+3xy+1880=y^3

>1880<2033的整数 都没有整数解

朱明君

设X=25,  Y=27,       则x^3+3xy+2033=y^3

设X=24,  Y=26,       则x^3+3xy+1880=y^3

>1880<2033的整数 都没有整数解