已知 a,b,c＞0 ，1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)=1 ，求证：a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c)

195912

請問這個解答紅色部分是為什麼
易证:  f(x)=1/x+4/(x-1)+3≥-k(3x-1),x∈(0,1),k∈Z
则   
      a+b+c-4(1/a+1/b+1/c)
    =( 1/x+1/y+1/z-3 )-4(1/(1-x)+1/(1-y)+1/(1-z)-3)
    =∑(1/x+1/(x-1)) +9≥∑[-k(3x-1) ]
     ≥-k[3(x+y+z)-3]
     =0     
所以
     a+b+c ≥4(1/a+1/b+1/c)
例 : 若
        x=0.8,
则
        k≥( 1/x+4/(x-1)+3)/(1-3x)=11.25
取
        k=12

luyuanhong

下面是网友 195912 在《数学中国》论坛上对此题的解答：

题 :   已知 a,b,c＞0 ，1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)=1 ，求证：a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c) 。

证明 :  设   1/(a+1) = x ,1/(b+1) =y , 1/(c+1) = z

则          a = 1/x - 1 , b = 1/y - 1 , c = 1/z - 1 , x , y , z ∈ ( 0 , 1 )

且           x + y + z = 1                ( 1 )

显然

      1/x + 4/( x - 1 ) + 3 = (x+1)/[x(x-1)]( 3x - 1 ) , 其中 , x ∈ ( 0 , 1 ) ,       ( 2 )

      1/y + 4/( y - 1 ) + 3 = (y+1)/[y(y-1)]( 3y - 1 ) , 其中 , y ∈ ( 0 , 1 ) ,       ( 3 )

      1/z + 4/( z - 1 ) + 3 = (z+1)/[z(z-1)]( 3z - 1 ) , 其中 , z ∈ ( 0 , 1 ) ,       ( 4 )

不失一般，不妨设      z ≤ y ≤ x

则有       (z+1)/［z(z-1)］ ≥ (y+1)/［y(y-1)] ≥ (x+1)/［x(x-1)]

这样，对
                a+b+c - 4(1/a+1/b+1/c)

               =[1/x + 4/(x-1) + 3] + [1/y + 4/(y-1) + 3] + [1/z + 4/(z-1) + 3 ]

根据 ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) ,( 4 )式，有

               [1/x + 4/(x-1) + 3] + [1/y + 4/(y-1) + 3] + [1/z + 4/(z-1) + 3 ]

              =(x+1)/［x(x-1)]( 3x - 1)+(y+1)/［y(y-1)] ( 3y - 1 ) + (z+1)/［z(z-1)]( 3z - 1 )

              ≥(x+1)/[x(x-1)][ 3(x + y+ z )- 3 ]

              = 0

所以           a+b+c≥4(1/a+1/b+1/c)  。

朱明君

蔡家雄 发表于 2017-3-7 02:02