对正整数 m,n ，令 q=[(m+3)^n+1]/(3m) ，试证若 q 为正整数, 则 q 必为奇数

elimqiu

awei 发表于 2017-4-10 04:50
第一个证明倒数第四行，2^k不整除3d+2不对头。
第二个证明第四行，m如果为3的倍数，写不成3m+2形式。
...

若d为奇数，3d +2 为奇数，若d为偶数，3d +2 不能被 2^k (k>1) 整除．

第二个证明，由(1), q 为整数时 m 必不是3的倍数，而只能是 3d+2 形式的数．

任在深

这儿对吗？

3d+6        3d+6
--------- =----------≠1
3(3d+2)     9d+6

请重新验算！？
不要糊弄人啊！

谢芝灵

awei 发表于 2017-4-10 03:26
谢谢老师，2^k不整除3d+2不对头

发现问题了！
因为 m为奇，q必为奇。
m为偶，实际上4│m，当然也分开讨论 2│m。

所以 当 m=3d+2时，有d=2（d1）
得 4│3d+2

可以证明n为偶，q为奇。
n为奇时，m=2（2k+1）时 q为奇

最后有 n为奇时，m=4（m1）时 ====按此情况 q为偶。
所以必须证明：((4m1+3)^n+1)/(12m1) ≠整数   ，楼主的命题才成立。

谢芝灵

elim 发表于 2017-4-10 04:00
不知道 awei 说哪行有错？

当 m为奇时，q为奇。

当 m为偶时：
（i）n为偶，有 (3^n)+1=2(2p+1).===∵4│(3^n)-1，且(3^n)+1与(3^n)-1的最大公因子为2
由 3q=[(m+3)^n+1]/m=m^n+...+nm3^(n-1)+(3^n)+1]/m
             =[4(整数）+(3^n)+1]/m
             =[4(整数）+2(2p+1)]/m
             =奇数
（ii）n为奇。m=(2^k)m1，得 [(3^n)+1]/m=整数，又[(3^n)+1]/4为奇数。
       得 ：m=(2^k)m1=4（m1）
代入  [(m+3)^n+1]/m中，
得 3q=[(m+3)^n+1]/m=4（整数）+n3^(n-1)+(3^n+1)/4m1
                                 =偶数+奇数+奇数
                                 =偶数。

故，楼主的命是要成立。只能是再证明 ：(m+3)^n+1]/3m={[(4m1+3)^（2n1+1）]+1}/12m1≠整数

否则，是个伪命题

elim

awei, 谢芝灵看到了我推演上的一个错误. 谢谢!
以下留出m = 4(2d+1)=24λ+2 的情形给大家思考。

awei

elim 发表于 2017-4-10 07:10
awei, 谢芝灵看到了我推演上的一个错误. 谢谢!
以下留出m = 4(2d+1)=24λ+2 的情形给大家思考。

第四行，m=2^k(2d+1),只能证明k>=3，q不是偶数。而忽略k<3。偶数能一一对应每一个集合｛2^k(2d+1)｝和集合｛k｝，但偶数集合却无法和它们对应。elim老师的题真难！

谢芝灵

谢芝灵 发表于 2017-4-10 06:26
当 m为奇时，q为奇。

当 m为偶时：

自己看看吧！
因为 n为奇时，3q=(4m+3)^n+1)/(4m) =（整数）+[（3)^n+1]/(4m)
必有 [（3)^n+1]/(4m) =整数
且 [（3)^n+1]/4=（4-1)^(n-1)-(4-1)^(n-2)+...-(4-1)+1=4(整数）+n=为奇数
所以 3q=[(4m+3)^n+1]/(4m) =[16m（整数）+4mn3^n(n-1)]/4m+[（3)^n+1]/(4m)
                                         =偶数+奇数+奇数 =偶数

elimqiu

楼上称一般地有偶数结果．举个例子：(7^3+1)/12 = 344/12=86/3 不是整数．
又对 m=20, n=3, ((m+3)^n+1)/(3m)=1014/5 不是整数．所以谢芝灵楼上论证错．

m = 4(2k+1)≡2 (mod 3) 的通解是 m = 4(6d-1)
根据我上次的分析, 或举出一例使n为正奇数，d为正整数, q= (3^n+1)/(6d-1)为整数, 这就证伪了主贴;
或者证明对一切这样的 n, d ,  q= (3^n+1)/(6d-1)均非整数，这就完成了主贴命题的证明．

谢芝灵

elimqiu 发表于 2017-4-10 15:11
楼上称一般地有偶数结果．举个例子：(7^3+1)/12 = 344/12=86/3 不是整数．
又对 m=20, n=3, ((m+3)^n+1)/( ...

你又偷换我的原话了。
我的原话：m必为偶数，且4│m。当 n为偶时你的命题成立，当n为奇时你的合题不成立。
你看不懂 17# 吗？你再反复看十遍17#，
你举出的例子都是证明我所说的正确！

谢芝灵

elimqiu 发表于 2017-4-10 15:11
楼上称一般地有偶数结果．举个例子：(7^3+1)/12 = 344/12=86/3 不是整数．
又对 m=20, n=3, ((m+3)^n+1)/( ...

q=[(m+3)^n+1]/3m
在上式，q，m，n 均为正整数，且q为奇。
当m为奇，必有q为奇。
当m为偶，必有 4│m，
当a、p为正确数得原式可化为： 2p+1=[(4a+3)^n+1]/12a  ==== 关健问题 这个式子能成立吗？
如果不成立就是个伪命题。
我担心的是：[(4a+3)^n+1]/12a ≠任何整数。 别说奇数了。
12a│(4a+3)^n+1
得：12a│(4a)^n+3^n+1，   即不管n为奇或为偶，这个式子能成立吗？
你说必须成立，或许它根本不成立呢！