求点的轨迹

天山草

陆教授已在 9# 楼为本帖作了精彩的解答。这些曲线族跟我预料的一样。

天山草

下面两个四边形都是等腰梯形，其各边数据如下图。
请红树自行计算，二者面积是否相等？周长是否相等？对角线之和是否相等？

红树

A1B1=C1D1，是这样吗？

红树

验证结棍:两个四边形的周长不相等，四边形ABCD周长大于四边形A1B1C1D1周长  

红树

请:谢芝灵:网友:给出证明:谢谢

APB先生

好久未见天山草老师了，祝愿老师安好！

luyuanhong

红树

不可能，怎么找到了啊！不可能

天山草

下面这两个梯形的周长相等。红树先生，您怎么连这个也算错了呢？是手工算的吧？要是手工算，那算错了可以理解 。

luyuanhong

红树 发表于 2017-4-17 08:25
不可能，怎么找到了啊！不可能

这个反例是怎样找到的？

我受到天山草所举例子的启发，先作出了上面的那一个梯形。

上面梯形两条对角线夹角 120°，对角线的长度为 2+4=6 ，梯形的周长为 10√3 。

再考虑作下面另一个梯形，下面梯形两条对角线夹角 60°，对角线长度也都是 6 。

对角线被交点分为两段，我设上面一段长度为 3-x ，下面一段长度为 3+x 。

由于对角线与梯形上下底构成正三角形，所以梯形上底为 3-x ，下底为 3+x 。

下面梯形的周长，要求与上面梯形的周长相同，等于 10√3 。周长减去上底、下底，

得到两腰长度之和为 10√3-(2-x)-(3+x)=10√3-6 ，一腰长度为 5√3-3 。

再由余弦定理，可得方程：  (3-x)^2+(3+x)^2+(3-x)(3+x)=(5√3-3)^2 。

解这个方程，可得 x=√(57-30√3) 。这样，就得到了下面梯形的两段对角线长度：

一段长度为 3-x=3-√(57-30√3) ，另一段长度为 3+x=3+√(57-30√3) 。