勾股嵌套

天山草

elim 发表于 2017-4-19 13:44
给定一等腰梯形，设其对角线长为 d, 高为 h, 则对角线倾角θ由 sin θ = h/d 决定.
该等腰梯形的面积是 d^ ...

【给定一等腰梯形（原等腰梯形），设其对角线长为 d, 高为 h, 周长为 p，经计算, 一切归结为 p(p - 4h)+4(2h^2 - d^2) 是否是完全平方数。如果是，就可得整数边等腰梯形偶对，否则没戏。】

设原等腰梯形上底为 2928，下底为 3120，腰为 146，高为 h=110。则周长为 p=2928+3120+146+146=6340，
对角线长 d^2 = 110^2+((2928+3120)/2)^2=12100+9144576=9156676, 故 d=3026，
p(p - 4h)+4(2h^2 - d^2) =6340(6340-4*110)+4(2*110^2-3026^2)=876096=936^2. 是一个完全平方数。
那么对偶等腰梯形如何求出？

elim

谢谢天山草先生。抱歉漏了一个条件：

天山草

整边对偶梯形的条件如下图：


对偶梯形的上下底边能否为整数，取决于 x 能否为整数，而这又取决于 p、q、r 三个参数如何选择。
很有可能 ——无论怎样选取 p、q、r 都不能成功：或者 x 不是正整数，或者虽然 x 是正整数，但是原梯形或是对偶梯形的边有负数。

    例如，取 p=2，q=3，r=2，则原梯形参数为：上底=25，下底=39，高=24，腰=25，对角线=40。
对偶梯形参数为：上底=24-√65，下底=24+√65，腰=33，高=32，对角线=40。
    这一组数据，正是 elim 前几天最先给出的解答。另外，0<p<q<r 这个条件可以放宽，本例中 q 并不小于 r。

elimqiu

关于 p,q,r 比较宽松的假设是 1≤ p，1＜q, r;  gcd(pq, r)=1.
然后定义 m(1)=r, n(1)=pq, m(2)=q, n(2)=pr. 再由公式
(n^2-m^2, 2mn, n^2+m^2) 得到二嵌套直角三角形．这是
不是最宽松的假设，还有待证实．

天山草

找到了一组解：p=4, q=7, r=2。


一定还有无穷多组解。

天山草

再来一个例子：

elim

很漂亮！ 谢谢天山草先生!

天山草

这是陆教授，elim ，天山草通力合作取得的成果哈。

新问题随之产生：最小整数的解是什么？

elim

最小整数解可以编程找出. 另外目前的两个例子一个近乎矩形，一个近乎三角形，还想找到更"般配“的....

luyuanhong

楼上 天山草 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。