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楼主: 天山草

小学奥数:有 m 级楼梯,每次可上1级、2级或3级,有几种走法?

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 楼主| 发表于 2017-5-12 07:17 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2017-5-12 07:49 编辑

elim 算出的通项公式,实际应用时,发现应当把 u 的两种表达式平均一下,这样 1/2 项就去掉了,这样计算结果才会完全精确,没有误差。

反之,如果不去掉 1/2,无论使用包含有正的 1/2 或是负的 1/2 的公式,对于某些 n 值总会出现 ±1 的误差。

而去掉 1/2 后,在 mathematica 中用 Round (用接近的实数)命令,无论是什么样的 n 值,计算结果总是完全正确的(n 越大,算出的实数误差越小,而最终的整数没有误差。即使 n=1,算出的整数也没有误差)。






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 楼主| 发表于 2017-5-12 07:44 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2017-5-12 07:53 编辑

对于斐波那契级数,其通项公式中虽然包含根式,但展开后结果是个整数,没有误差。而本题的这个上楼方案级数的通项公式,展开后结果是个接近整数的实数(尽管最接近该实数的整数与实际值之间是没有任何误差的!)。那么,从理论上说,是否存在展开后是完全准确的整数的通项公式呢?
发表于 2017-5-12 13:24 | 显示全部楼层


加减 1/2 是为了简化计算(省去计算 v^n 等等),同时保证结果的准确性。

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发表于 2017-5-12 13:39 | 显示全部楼层

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 楼主| 发表于 2017-5-12 17:19 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2017-5-12 17:26 编辑

下面这个通项公式也可以:





可见这两个公式的计算结果是完全一样的。

无论哪个公式,实际使用时,公式前面都要加一个指令:Round, 意思即:最靠近该实数的整数。

这个公式是怎样来的? 是【数学研发】网站一位先生用下述命令得来的:

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发表于 2017-5-13 08:17 | 显示全部楼层
天山草 发表于 2017-5-12 02:19
下面这个通项公式也可以:

真的很有趣. 数学研发站的那位老师真的很高明.  他的" Root[-1+12 #1...." 不知是真么回事.

两个绝对准的公式因该代数等价(值)才对.
 楼主| 发表于 2017-5-13 17:36 | 显示全部楼层
本帖最后由 天山草 于 2017-5-13 20:20 编辑

小学奥数:有 m 级楼梯,每次可上1级、2级或3级,有几种走法?
h国ttp://b国bs.emath.ac.cn/for国um.php?mod=vie国wthread&t国id=9480&fromuid=9国506
(出处: 数学研发论坛)


elim 先生,您可以到上面这个网站看我发到那里的帖子。由于【数学中国】网站不可以发网址链接(不知道为什么?怕中毒?),我把网址中间加了许多的 国 字,你把 国 字都删掉就行了,哈哈。
发表于 2017-5-13 18:52 | 显示全部楼层
1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37,49,65,86,..........
相当于有 m 级楼梯,每次可上2级 , 3级,有几种走法(不能上1级)。

天山草先生!有通项公式吗?


更一般地:有m级楼梯,每次可上n1级,n2级,都会有通项公式吗?

点评

王先生,我不会呀,我最多只能找到递推公式,不会弄那个通项公式。哈哈。  发表于 2017-5-13 19:51
 楼主| 发表于 2017-5-13 20:22 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2017-5-13 18:52
1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37,49,65,86,..........
相当于有 m 级楼梯,每次可 ...

我想都会有通项公式的。只是我不知道如何弄那个特征方程。

点评

谢谢天山草先生!谢谢!  发表于 2017-5-13 21:23
发表于 2017-5-14 02:33 | 显示全部楼层
发现数学研发站的Mathematica先生26楼的通项公式是不对的:一般地它不是有理数.

所以要想只计算一个高次幂,只有利用取整或所谓的‘四舍五入Round's手段.

点评

您那个通项公式也像也是这样的,不会算出整数来,但是四舍五入的结果全都正确。不知道有没有一个算出来即是整数的通项公式?  发表于 2017-5-14 10:33
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