网上关于连乘积有三种不同的意见，请网友讨论或者用数据检验哪个正确？

pAq

[这个贴子最后由pAq在 2011/06/19 08:25am 第 1 次编辑]

下面引用由大傻8888888在 2011/06/18 00:36pm 发表的内容：
把“再谈连乘积里素数p的取值范围不同而产生的问题”复制后，点数学中国下面搜索栏，点粘贴后搜索，在我的“再谈连乘积里素数p的取值范围不同而产生的问题”的帖子里有luyuanhong教授关于这个问题的证明。
...

白新岭

"那么就会得出如√x＜p≤x ，x→∞时，∏(1-1/p)-->1/2这样的结果。请问错在哪里？"这应该是一个正确的命题：从n+1到n^2内的所有素数形如（1-1/p）的连乘积值永远大于0.5，只有当n→∞时，其值才接近0.5.  这个命题在2年以前我就向熊一兵先生讨教过，后面是连接地址：（在第四楼后半部分）<http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5238&show=25
<http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5265&start=0&show=0&man=
在第二个连接中主楼就回答了这个问题。

pAq

下面引用由在 2011/06/18 00:24pm 发表的内容：
只有 qingjiao 先生和 liudan 先生的公式是正确的，陆教授的公式有些误差，LLZ2008 先生的公式是把系数搞错了。
下面是三组计算结果。算到 p 取得 12 亿以内的那个最大的素数（第 60454705 个素数）为止。此时的 ...
二、陆教授公式计算结果：
       n              H                       a
----------------------------------------------------------
    1000000   0.0339136565286619      0.0302015565486049
             ..............................
   60000000   0.0268670964601276      0.023926152613447
   60454705   0.026856877384979       0.023926152613447
----------------------------------------------------------

天山草先生：
     按陆教授的公式【∏(1-1/p)=1/lnx ， p≤√x ，x→∞。】计算，
     末行的 a≈1/log(1200000000)=0.047834。不知对否？
另外，末两行的n值不等，a值为何相等？

大傻8888888

下面引用由pAq在 2011/06/18 07:43pm 发表的内容：
大傻8888888先生：
由上式，如何证明出
∏(1-1/p)=1/lnx ， p≤√x ，x→∞。
请您赐教。谢谢！

pAq先生：
luyuanhong教授的证明比你复制的内容要多，你看全luyuanhong教授的证明后就知道∏(1-1/p)=1/lnx ， p≤√x ，x→∞。
不过天山草先生的数据如果正确的话，则luyuanhong教授的证明不准确。

天山草

下面引用由pAq在 2011/06/19 09:07am 发表的内容：
天山草先生：
     按陆教授的公式【∏(1-1/p)=1/lnx ， p≤√x ，x→∞。】计算，
     末行的 a≈1/log(1200000000)=0.047834。不知对否？
另外，末两行的n值不等，a值为何相等？

先答复第一个问题。表中倒数第 2 行中，值是 60000000，表示第 60000000 个素数，这个素数等于 1190494759， 由于 p≤√x， 说明此时 x 的值要取到 p^2，因此 ln(x)=ln(p^2)=2*ln(p), 所以 a=1/ln(x)=0.5/ln(p)=0.5/ln(1190494759)=0.02392615……
第二个问题，最后一行的最后一个数字， 是程序有点毛病，保留了上次的结果，没把新结果打出来。在此先算一算：第一列末行是 60454705，表示第 60454705 个素数，它等于 1199999993， 也就是 12 亿内的最末那个素数。因此 a=1/ln(x)=0.5/ln(p)=0.5/ln(1199999993)=0.0239171……

pAq

下面引用由大傻8888888在 2011/06/19 11:25am 发表的内容：
pAq先生：
luyuanhong教授的证明比你复制的内容要多，你看全luyuanhong教授的证明后就知道∏(1-1/p)=1/lnx ， p≤√x ，x→∞。
不过天山草先生的数据如果正确的话，则luyuanhong教授的证明不准确。

大傻8888888先生：

“看全luyuanhong教授的证明后”，也没看到∏(1-1/p)=1/lnx ， p≤√x ，x→∞。
请您赐教。谢谢！

天山草

下面把三个公式的计算结果表格的最后一行更正后重发如下：
qingjiao 公式计算结果：
    n               H                       a
----------------------------------------------------------
60000000   0.0268670964601269      0.0268671305802183
60454705   0.0268568773849783      0.0268569102197306
陆教授的公式计算结果：
  n               H                       a
----------------------------------------------------------
60000000   0.0268670964601269      0.023926152613447
60454705   0.0268568773849783      0.0239170510123637
LLZ2008公式计算结果：
  n               H                       a
----------------------------------------------------------
60000000   0.0268670964601269      0.047852305226894
60454705   0.0268568773849783      0.0478341020247274

pAq

天山草先生：您好！
     谢谢您的回复。不好意思，我看漏了您写的“此时的 x 就是那个素数的平方。”
此外，对于下图：

请问，是否能推得
∞
∑1/n=Ln(n)
n=1
请您赐教。谢谢！

天山草

答复 pAq 先生18楼的问题：

zhujingshen

[这个贴子最后由zhujingshen在 2011/06/19 06:31pm 第 1 次编辑]

素数数量的公式为：π(n)=n*∏﹙1-1/p﹚-1+π(√n)，（其中p≤√x）
所以，π(n)与∏﹙1-1/p﹚的函数关系，严格地说，是：
∏﹙1-1/p﹚=（π(n)-π(√n)+1）/n
∏﹙1-1/p﹚=π(n)/n   是近似公式。