白新岭同学没有话说？

天山草

下面引用由qingjiao在 2011/07/02 08:27pm 发表的内容：
你的程序有自动控制误差的功能吗？取到第几项？

计算那个展开级数吧？取 200000 项。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/07/02 08:53pm 第 3 次编辑]

下面的数据是以前算的：

        Li(x) 计 算 值                     π(x) 实际值     计算/实际
-----------------------------------------------------------------------
Li(10^1) =                    5，                     4， 1.250000000000
Li(10^2) =                   29，                    25， 1.160000000000
Li(10^3) =                  176，                   168， 1.047619047619
Li(10^4) =                 1245，                  1229， 1.013018714402
Li(10^5) =                 9628，                  9592， 1.003753127606
Li(10^6) =                78626，                 78498， 1.001630614793
Li(10^7) =               664917，                664579， 1.000508592658
Li(10^8) =              5762208，               5761455， 1.000130696152
Li(10^9) =             50849233，              50847534， 1.000033413616
Li(10^10)=            455055613，             455052511， 1.000006816796
Li(10^11)=           4118066399，            4118054813， 1.000002813464
Li(10^12)=          37607950279，           37607912018， 1.000001017366
Li(10^13)=         346065645809，          346065536839， 1.000000314883
Li(10^14)=        3204942065690，         3204941750802， 1.000000098251
Li(10^15)=       29844571475286，        29844570422669， 1.000000035270
Li(10^16)=      279238344248556，       279238341033925， 1.000000011512
Li(10^17)= 2.62355716561082E+15，      2623557157654233， 1.000000003033
Li(10^18)= 2.47399543096903E+16，     24739954287740860， 1.000000000887
Li(10^19)= 2.34057667376223E+17，    234057667276344607， 1.000000000427
Li(10^20)= 2.22081960278367E+18，   2220819602560918840， 1.000000000100
Li(10^21)= 2.11272694866161E+19，  21127269486018731928， 1.000000000028
Li(10^22)= 2.01467286691249E+20， 201467286689315906290， 1.000000000010
Li(10^23)= 1.92532039161405E+21
Li(10^24)= 1.84355997673663E+22
Li(10^25)= 1.76846309399199E+23
Li(10^26)= 1.69924675087259E+24
Li(10^27)= 1.63524604268421E+25
Li(10^28)= 1.57589269275975E+26
Li(10^29)= 1.52069810971429E+27
Li(10^30)= 1.46923988977204E+28
Li(10^31)= 1.42115097348081E+29
Li(10^32)= 1.37611086699378E+30
Li(10^33)= 1.33383848331044E+31
Li(10^34)= 1.29408626505159E+32
Li(10^35)= 1.25663532881832E+33
Li(10^36)= 1.22129142976193E+34
Li(10^37)= 1.18788158912168E+35
Li(10^38)= 1.15625126102652E+36
Li(10^39)= 1.12626194055592E+37
Li(10^40)= 1.09778913489828E+38
Li(10^41)= 1.07072063488004E+39
Li(10^42)= 1.04495503622645E+40
Li(10^43)= 1.02040046944366E+41
Li(10^44)= 9.96973504768775E+41
Li(10^45)= 9.74598204664925E+42
Li(10^46)= 9.53205301174764E+43
Li(10^47)= 9.32731479347387E+44
Li(10^48)= 9.13118751116137E+45
Li(10^49)= 8.94313906580259E+46
Li(10^50)= 8.76268031750789E+47
Li(10^51)= 8.58936083553663E+48
Li(10^52)= 8.42276514312126E+49
Li(10^53)= 8.26250939115129E+50
Li(10^54)= 8.10823840464118E+51
Li(10^55)= 7.95962305413021E+52
Li(10^56)= 7.81635791105615E+53
Li(10^57)= 7.67815915194384E+54
Li(10^58)= 7.54476268113567E+55
Li(10^59)= 7.41592244592974E+56
Li(10^60)= 7.29140892150316E+57
Li(10^61)= 7.17100774599048E+58
Li(10^62)= 7.05451848863221E+59
Li(10^63)= 6.94175353610424E+60
Li(10^64)= 6.83253708400371E+61
Li(10^65)= 6.72670422208765E+62
Li(10^66)= 6.62410010325296E+63
Li(10^67)= 6.52457918744473E+64
Li(10^68)= 6.42800455272871E+65
Li(10^69)= 6.33424726667065E+66
Li(10^70)= 6.24318581194817E+67
Li(10^71)= 6.15470556081581E+68
Li(10^72)= 6.06869829364427E+69
Li(10^73)= 5.98506175727814E+70
Li(10^74)= 5.90369925942353E+71
Li(10^75)= 5.82451929568361E+72
Li(10^76)= 5.74743520621404E+73
Li(10^77)= 5.67236485929086E+74
Li(10^78)= 5.59923035936289E+75
Li(10^79)= 5.52795777740379E+76
Li(10^80)= 5.45847690160267E+77
Li(10^81)= 5.39072100662708E+78
Li(10^82)= 5.32462663986149E+79
Li(10^83)= 5.26013342318284E+80
Li(10^84)= 5.19718386897294E+81
Li(10^85)= 5.13572320918607E+82
Li(10^86)= 5.07569923640517E+83
Li(10^87)= 5.01706215591782E+84
Li(10^88)= 4.95976444792878E+85
Li(10^89)= 4.90376073910873E+86
Li(10^90)= 4.84900768275073E+87
Li(10^91)= 4.79546384686647E+88
Li(10^92)= 4.74308960961656E+89
Li(10^93)= 4.69184706152102E+90
Li(10^94)= 4.64169991394072E+91
Li(10^95)= 4.59261341336619E+92
Li(10^96)= 4.54455426108974E+93
Li(10^97)= 4.49749053786855E+94
Li(10^98)= 4.45139163322094E+95
Li(10^99)= 4.40622817902887E+96
Li(10^100)= 4.36197198714075E+97

从计算结果看，似乎 Li(x) 总是比 π(x) 大一点，但实际上， 有时却会小一点——当 x 非常非常大的时候。这是英国数学家李德伍特同志发现的。

天山草

关于素数表，我是用郭先强的 HugeCalc 软件生成的，这软件几年前用 15 元人民币下载的，也可以免费使用。不知现在是不是还免费？

qingjiao

qingjiao

从计算结果看，似乎 Li(x) 总是比 π(x) 大一点，但实际上， 有时却会小一点——当 x 非常非常大的时候。这是英国数学家李德伍特同志发现的。
=============================================================
对Littlewood这个结果表示怀疑，虽然我没看过也不会看得懂他的证明。
但如果Li(x)<π(x)，则意味着θ(x)>x，这似乎是不可能的。

天山草

qingjiao， 0-2 亿素数表给您发过去了，从 113M 压缩到 24M， 网络说是“发送成功”，你看看到底成没成功？

qingjiao

数据显示Li(x)的误差约在(0.8~2.2)*√x/lnx之间波动，而且振荡次数非常多。
所以任何单调连续光滑无振荡项的函数，它与π(x)的误差仍然在√x/lnx数量级，因此它在原则上并不比Li(x)更好。这种函数不可能证明阶低于√x的区间必有素数，而√x的区间是否能证明必有素数，还要看确定的振幅有多大，即+/_A*√x/lnx中的A有多大。

天山草

楼主呀，您让算的是 (Li(x)-π(x))/(√x/lnx)，而您的那个曲线图上标的是(Li(x)-π(x))*lnx/√x， 没弄错吧？

天山草

下面引用由qingjiao在 2011/07/02 09:27pm 发表的内容：
从计算结果看，似乎 Li(x) 总是比 π(x) 大一点，但实际上， 有时却会小一点——当 x 非常非常大的时候。这是英国数学家李德伍特同志发现的。
=============================================================
对Littlewood这个结果表示怀疑，虽然我没看过也不会看得懂他的证明。
但如果Li(x)<π(x)，则意味着θ(x)>x，这似乎是不可能的。

国人潘承洞和潘承彪（是潘承洞他弟弟还是他妹妹呀？）好像认可Littlewood 的说法：

小孙子吵着要睡觉觉了，就此下线啦。

qingjiao

下面引用由天山草在 2011/07/02 09:42pm 发表的内容：
楼主呀，您让算的是 (Li(x)-π(x))/(√x/lnx)，而您的那个曲线图上标的是(Li(x)-π(x))*lnx/√x， 没弄错吧？

这不是一样的吗？除以(√x/lnx)=*(lnx/√x)。
另外你那个邮件没有收到，可能还是太大了，能不能先发1亿以内的？