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楼主: luyuanhong

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

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发表于 2011-7-3 17:39 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

“做法三”(两点)所确定的一条直线,可以和“做法二”(一点一角)所确定的无数条直线相对应(因为一条直线上有无数个点);
反之,“做法二”(一点一角)所确定的一条直线,可以和“做法三”(两点)所确定的无数条直线相对应。
所以,“做法二”和“做法三”不能建立一一对应关系。
同理,“做法一”和“做法三”也不能建立一一对应关系。
同样因为一条直线上有无数个点,“做法一”和“做法二”还是不能建立一一对应关系。
所以,用一一对应的思路来证明三个做法的等价性失败。


 楼主| 发表于 2011-7-3 18:07 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/03 06:09pm 第 1 次编辑]
下面引用由天茂2011/07/03 05:39pm 发表的内容:
“做法三”(两点)所确定的一条直线,可以和“做法二”(一点一角)所确定的无数条直线相对应(因为一条直线上有无数个点);
反之,“做法二”(一点一角)所确定的一条直线,可以和“做法三”(两点)所确定的无数条直线相对应。
所以,“做法二”和“做法三”不能建立一一对应关系。
同理,“做法一”和“做法三”也不能建立一一对应关系。
同样因为一条直线上有无数个点,“做法一”和“做法二”还是不能建立一一对应关系。
所以,用一一对应的思路来证明三个做法的等价性失败。

    要确定平面中的一条直线,只需要两个参数。
“做法一”只用到两个参数:θ 和 r ,所以作法与直线是一一对应的。
“做法二”用到三个参数:x,y 和 φ ,所以作法与直线不是一一对应的。
“做法三”用到四个参数:x,y,u,v ,所以作法与直线更不是一一对应的。
    我说这三种做法“实质上是等价的”,并不是说它们是“一一对应的”,
而是说,三种做法作出的直线,在“均匀性”的意义上是相同的。
    “在圆中任作一弦”的各种做法,在“均匀性”的意义上是各不相同的,
所以,根据作弦的“均匀性”算出来的概率各不相同。
    “在平面中任作一直线”的各种做法,在“均匀性”的意义上是相同的,
所以,根据作直线的“均匀性”算出来的概率是相同的。
发表于 2011-7-3 19:01 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

下面引用由luyuanhong2011/07/03 05:32pm 发表的内容:
你可以自己试试用 Excel 计算。
“做法二”:
用语句 1000*(2*RND()-1) ,1000*(2*RND()-1) 取 A 点的坐标 x 和 y 。
(实际上应该在全平面中取 A 点,但实际上这是不可能的,只能近似做到,
...
这两种做法最后都要归结为在 d≤1 中选 d<1/2 的概率,当然只能是 0.5 了。
 楼主| 发表于 2011-7-3 21:55 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

下面引用由天茂2011/07/03 07:01pm 发表的内容:
这两种做法最后都要归结为在 d≤1 中选 d<1/2 的概率,当然只能是 0.5 了。

    在 d≤1 中选 d<1/2 的概率,并不一定是 0.5 。
请你回想一下 Bertrand 怪论的“解法五”:在圆内任取两点 A,B 作一根弦。
这样作出的弦,它到圆心的垂直距离 d ,总是满足  d≤1 。
要求弦长大于√3 ,也就是要求弦到圆心的垂直距离 d ,必须满足 d<1/2 。
所以,我们求“弦长大于√3 ”的概率,就是“在 d≤1 中选 d<1/2 ”的概率,
但是,在这种解法中,我们求出的概率不是 0.5 ,而是 0.74683000… 。
    由此可见,在 d≤1 中选 d<1/2 的概率,并不一定是 0.5 ,关键是要看 d
是不是服从均匀分布。
    在平面中作直线的“做法一”中,d 显然是服从均匀分布的。而在“做法二”
“做法三”中,d 是否服从均匀分布,却不是一眼就能看出来的。我在第 1 楼中,
用了一大段话,说明“做法一”“做法二”“做法三”是“实质上等价的”,正因
为这三种做法是等价的,所以在“做法二”“做法三”中,才会像“做法一”那样,
直线到圆心距离 d 服从均匀分布,才会像“做法一”那样,求出的概率为 0.5 。  
发表于 2011-7-4 07:41 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

做法四:在直角坐标系(原点O)平面上任取一点P(x,y),过P点作OP的垂线,也能唯一确定一条直线。
请教陆老师:
“做法四”和“做法一”实际上就是直角坐标和极坐标的关系,两者应该是一一对应的吧?或者说两个做法本质一致吧?
但是,如果把单位圆再加入进来,“做法一”对应的是原悖论的“解法二”,“做法四”对应的却是原悖论的“解法三”,您如何解释这个结果呢?

 楼主| 发表于 2011-7-4 12:26 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/04 02:31pm 第 6 次编辑]
下面引用由天茂2011/07/04 07:41am 发表的内容:
做法四:在直角坐标系(原点O)平面上任取一点P(x,y),过P点作OP的垂线,也能唯一确定一条直线。
请教陆老师:
“做法四”和“做法一”实际上就是直角坐标和极坐标的关系,两者应该是一一对应的吧?或者说两个做法本质一致吧?
但是,如果把单位圆再加入进来,“做法一”对应的是原悖论的“解法二”,“做法四”对应的却是原悖论的“解法三”,您如何解释这个结果呢?

    两种做法是否“实质上等价”,并不在于它们是否“一一对应”,而在于它们是否
有相同的“均匀性”。

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 楼主| 发表于 2011-7-5 07:55 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/05 09:57am 第 1 次编辑]

“在平面中任作一直线,求直线被单位圆截得弦长大于√3 的概率”的问题,
还可以从圆形类推到其他几何图形如正方形的情形,下面来求
“在平面中任作一直线,求直线被正方形截得的线段长度大于 1 的概率”:

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发表于 2011-7-5 09:05 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

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发表于 2011-7-5 09:19 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

下面引用由 :em15: trx :em15: 2011/07/05 09:05am 发表的内容:
:em05:  此主题相关图片如下:
:em05: 此处无青草,无须多嘴驴!
发表于 2011-7-5 10:45 | 显示全部楼层

“在平面中任作一直线”可有多种做法,但实质上都是等价的

[这个贴子最后由天茂在 2011/07/05 05:02pm 第 6 次编辑]
下面引用由luyuanhong2011/07/04 00:26pm 发表的内容:
    两种做法是否“实质上等价”,并不在于它们是否“一一对应”,而在于它们是否
有相同的“均匀性”。
“做法四”不符合“平行直线均匀分布”的要求,所以不是一种合理的、可接受的做法。
陆老师的结论是正确的。
我用规整的方法(而不是随机的方法)在直角坐标(做法四)和极坐标系(做法一)中分别作直线,得出的结论是:
直角坐标系中的点是均匀的,而直线是非均匀的;
极坐标系中的点是非均匀的,而直线是均匀的。
如下图所示:
以上是做法一
事实上,在概率悖论的多种解法中,解法三(即做法四)的概率=1/4,是所有结果中最小的,因此,也可能是均匀性最差的。

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