“在平面中任作一直线”可有多种做法，但实质上都是等价的

天茂

“做法三”（两点）所确定的一条直线，可以和“做法二”（一点一角）所确定的无数条直线相对应（因为一条直线上有无数个点）；
反之，“做法二”（一点一角）所确定的一条直线，可以和“做法三”（两点）所确定的无数条直线相对应。
所以，“做法二”和“做法三”不能建立一一对应关系。
同理，“做法一”和“做法三”也不能建立一一对应关系。
同样因为一条直线上有无数个点，“做法一”和“做法二”还是不能建立一一对应关系。
所以，用一一对应的思路来证明三个做法的等价性失败。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/03 06:09pm 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2011/07/03 05:39pm 发表的内容：
“做法三”（两点）所确定的一条直线，可以和“做法二”（一点一角）所确定的无数条直线相对应（因为一条直线上有无数个点）；
反之，“做法二”（一点一角）所确定的一条直线，可以和“做法三”（两点）所确定的无数条直线相对应。
所以，“做法二”和“做法三”不能建立一一对应关系。
同理，“做法一”和“做法三”也不能建立一一对应关系。
同样因为一条直线上有无数个点，“做法一”和“做法二”还是不能建立一一对应关系。
所以，用一一对应的思路来证明三个做法的等价性失败。

    要确定平面中的一条直线，只需要两个参数。
“做法一”只用到两个参数：θ 和 r ，所以作法与直线是一一对应的。
“做法二”用到三个参数：x,y 和 φ ，所以作法与直线不是一一对应的。
“做法三”用到四个参数：x,y,u,v ，所以作法与直线更不是一一对应的。
    我说这三种做法“实质上是等价的”，并不是说它们是“一一对应的”，
而是说，三种做法作出的直线，在“均匀性”的意义上是相同的。
    “在圆中任作一弦”的各种做法，在“均匀性”的意义上是各不相同的，
所以，根据作弦的“均匀性”算出来的概率各不相同。
    “在平面中任作一直线”的各种做法，在“均匀性”的意义上是相同的，
所以，根据作直线的“均匀性”算出来的概率是相同的。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/07/03 05:32pm 发表的内容：
你可以自己试试用 Excel 计算。
“做法二”：
用语句 1000*(2*RND()-1) ，1000*(2*RND()-1) 取 A 点的坐标 x 和 y 。
（实际上应该在全平面中取 A 点，但实际上这是不可能的，只能近似做到，
...

这两种做法最后都要归结为在 d≤1 中选 d＜1/2 的概率，当然只能是 0.5 了。

luyuanhong

下面引用由天茂在 2011/07/03 07:01pm 发表的内容：
这两种做法最后都要归结为在 d≤1 中选 d＜1/2 的概率，当然只能是 0.5 了。

    在 d≤1 中选 d＜1/2 的概率，并不一定是 0.5 。
请你回想一下 Bertrand 怪论的“解法五”：在圆内任取两点 A,B 作一根弦。
这样作出的弦，它到圆心的垂直距离 d ，总是满足  d≤1 。
要求弦长大于√3 ，也就是要求弦到圆心的垂直距离 d ，必须满足 d＜1/2 。
所以，我们求“弦长大于√3 ”的概率，就是“在 d≤1 中选 d＜1/2 ”的概率，
但是，在这种解法中，我们求出的概率不是 0.5 ，而是 0.74683000… 。
    由此可见，在 d≤1 中选 d＜1/2 的概率，并不一定是 0.5 ，关键是要看 d
是不是服从均匀分布。
    在平面中作直线的“做法一”中，d 显然是服从均匀分布的。而在“做法二”
“做法三”中，d 是否服从均匀分布，却不是一眼就能看出来的。我在第 1 楼中，
用了一大段话，说明“做法一”“做法二”“做法三”是“实质上等价的”，正因
为这三种做法是等价的，所以在“做法二”“做法三”中，才会像“做法一”那样，
直线到圆心距离 d 服从均匀分布，才会像“做法一”那样，求出的概率为 0.5 。  

天茂

做法四：在直角坐标系（原点O）平面上任取一点P（x,y），过P点作OP的垂线，也能唯一确定一条直线。
请教陆老师：
“做法四”和“做法一”实际上就是直角坐标和极坐标的关系，两者应该是一一对应的吧？或者说两个做法本质一致吧？
但是，如果把单位圆再加入进来，“做法一”对应的是原悖论的“解法二”，“做法四”对应的却是原悖论的“解法三”，您如何解释这个结果呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/04 02:31pm 第 6 次编辑]

下面引用由天茂在 2011/07/04 07:41am 发表的内容：
做法四：在直角坐标系（原点O）平面上任取一点P（x,y），过P点作OP的垂线，也能唯一确定一条直线。
请教陆老师：
“做法四”和“做法一”实际上就是直角坐标和极坐标的关系，两者应该是一一对应的吧？或者说两个做法本质一致吧？
但是，如果把单位圆再加入进来，“做法一”对应的是原悖论的“解法二”，“做法四”对应的却是原悖论的“解法三”，您如何解释这个结果呢？

    两种做法是否“实质上等价”，并不在于它们是否“一一对应”，而在于它们是否
有相同的“均匀性”。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/07/05 09:57am 第 1 次编辑]

“在平面中任作一直线，求直线被单位圆截得弦长大于√3 的概率”的问题，
还可以从圆形类推到其他几何图形如正方形的情形，下面来求
“在平面中任作一直线，求直线被正方形截得的线段长度大于 1 的概率”：

trx

尚九天

下面引用由 :em15: trx :em15: 在 2011/07/05 09:05am 发表的内容：
:em05:  此主题相关图片如下：

:em05: 此处无青草，无须多嘴驴！

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2011/07/05 05:02pm 第 6 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2011/07/04 00:26pm 发表的内容：
    两种做法是否“实质上等价”，并不在于它们是否“一一对应”，而在于它们是否
有相同的“均匀性”。
“做法四”不符合“平行直线均匀分布”的要求，所以不是一种合理的、可接受的做法。

陆老师的结论是正确的。
我用规整的方法（而不是随机的方法）在直角坐标（做法四）和极坐标系（做法一）中分别作直线，得出的结论是：
直角坐标系中的点是均匀的，而直线是非均匀的；
极坐标系中的点是非均匀的，而直线是均匀的。
如下图所示：
以上是做法一
事实上，在概率悖论的多种解法中，解法三（即做法四）的概率=1/4，是所有结果中最小的，因此，也可能是均匀性最差的。