梯形 ABCD 中，AB∥CD，AC,BD 交于 E，AB=AC，BE=BC，∠CAD=15°，求证 AD=BD，AD⊥BD

denglongshan

出现高次方程，不会做

王守恩

王守恩 发表于 2021-11-22 08:07
各位网友！可有好方法？几何追求纯几何方法，也许只是奢望。

\(记∠EAB=2\theta\ \ \ ∠ECB=90^\circ-\t ...

各位网友！可有好方法？几何追求纯几何方法，也许只是奢望。

\(记∠ECD=2\theta\ \ \ ∠EDC=90^\circ-3\theta\ \ \ ∠EDA=75^\circ+\theta\)

  \(BD=\sin(15^\circ+2\theta)\ \ \ \ \ \ \ AC=AB=\cos(15^\circ-\theta)\)

\(\frac{CE}{ED}=\frac{AC}{BD}\ \ \ 即:\ \ \frac{\cos(3\theta)}{\sin(2\theta)}=\frac{\cos(15^\circ-\theta)}{\sin(15^\circ+2\theta)}\ \ \ 解得\theta=15^\circ\)

\(解是唯一的呀！你总得限制\theta<\pi,\theta<\pi/2,\theta<\pi/3,...\)

补充(这补充还需要吗)

\(S_{△ABC}=S_{△ABD}\)

\(S_{△ABC}=AB*AC*\sin∠BAC=\cos(15^\circ-\theta)*\cos(15^\circ-\theta)*\sin(2\theta)\)

\(S_{△ABD}=AB*AD*\sin∠BAD=\cos(15^\circ-\theta)*\cos(3\theta)*\sin(15^\circ+2\theta)\)

denglongshan

ccmmjj 发表于 2017-7-6 12:06
这是三角做法。不过这种做法不能说不对，而且象是通法。我的意思是有没有使用辅助线之类的综合推导。
我 ...

楼主能否用函数把唯一性做得出来的方法发出来？
构图顺序：A，B、C，直线DB，作DC平行于AB交EB于D，根据角度关系求出C

五次方程除c=0容易排除，如何排除其它三个解

uk702

denglongshan 发表于 2021-11-23 21:26
楼主能否用函数把唯一性做得出来的方法发出来？
构图顺序：A，B、C，直线DB，作DC平行于AB交EB于D，根据 ...

我用 Geogebra 作了个图，依图中显示似确实只有一个解，即使图中的线条全部视作无限延长的直线。

uk702

另我用三角+ MMA 求解，它给出两个解。突然想起，GGB的求解未必可信（估计它是数值解，不排除精度不够，说不定 GGB 的 185°=MMA 的180°±15° 呢），我不知道该信谁的。

假设 AB=1，则
高 CH=sin(2x)，BI=tan(90°-∠DBI)DI=tan(3x)sin(2x)
AI=1-tan(3x)sin(2x)，又 DI/AI=tan(15°+2x)，
∴sin(2x)/(1-tan(3x)sin(2x))=tan(15°+2x)

Clear[x]; FullSimplify@
Solve[{Sin[2 x]/(1 - Tan[3 x] Sin[2 x]) == Tan[\[Pi]/12 + 2 x] &&
    0 < x < \[Pi]/2}, {x}]

波斯猫猫

思路：按主贴图，设∠CAB=x（0＜x＜π／3），AB=AC=a，AD=1。

由条件，在△ACD中，由正弦定理有1/sinx=a/ sin(x+π/12) ,               

在△ABD中，由正弦定理有1/cos(3x/2)=a/cos(π／12-x/2)，

故，a= sin(x+π/12)/sinx=cos(x/2-π／12)/cos(3x/2)。      （1）

令f(x) =sin(x+π/12)/sinx，g(x)=cos(x/2-π／12)/cos(3x/2) ，

则f(x)′ =-sin(π/12)/（sinx）∧2＜0，是减函数；

g(x)ˊ=[sin（2x-π/12+2sin(3x/2)coss(x/2-π／12)）]/[2cos(3x/2)∧2]＞0，是增函数。

故方程（1）在（0，π／3）内至多有一解，经观察知其恰有一解x=π／6。

从而△ABD是等腰直角三角形。

注：本理念建立角的关系，避免了繁所的代数关系或方程的运算。

denglongshan

王守恩 发表于 2021-11-23 13:38
各位网友！可有好方法？几何追求纯几何方法，也许只是奢望。

\(记∠ECD=2\theta\ \ \ ∠EDC=90^\circ- ...

对三角长期不用，不熟悉了，你的方程软件有七个解，美国很了不起

波斯猫猫

思路：按主贴图，设∠CAB=x（0＜x＜π／3），AB=AC=a，AD=1。

由条件，在△ACD中，由正弦定理有1/sinx=a/ sin(x+π/12) ,               

在△ABD中，由正弦定理有1/cos(3x/2)=a/cos(π／12-x/2)，

故，a= sin(x+π/12)/sinx=cos(x/2-π／12)/cos(3x/2)，      

变形，积化和差后又和差化积，整理得，sin(x+π/12)/sin（x/2）=cos(π／12)/cos(2x) 。  （1）

令f(x) =sin(x+π/12)/sin（x/2），g(x)= cos(π／12)/cos(2x) ，

则f(x)′ =-sin(π/12)/[2（sin（x/2））∧2]＜0，是减函数；

g(x)ˊ=2sin（2x）cos(π／12)）/[cos(2x)∧2＞0，是增函数。

故方程（1）在（0，π／3）内至多有一解，经观察知其恰有一解x=π／6。

从而△ABD是等腰直角三角形。

注：本理念建立角的关系，避免了繁所的代数关系或方程的运算。16楼不能断定g(x)ˊ＞0。有误！

波斯猫猫

若用纯几法，还可以试试将其补充成一个等腰梯形或平行四边形（可以向左或向右两个方向）。

波斯猫猫

若原题提问判定△ABD的形状，其难度比证明△ABD是等腰直角三角形（根据结果，寻找需要的条件）要大些。