1=0.999……

elim

APB先生的 8/9 = 0.888... +(8/9)(1/1000...) 中，1/1000... 就是一个造假(貌似非零的东西)．

elim

1. 1/1000…… 是客观存在的事实；只许你们写 0.999……，不许我写 1000……，太不讲理了！！

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不是允许写 0.999..., 1000.... 的问题，而是这些形式表达式是不是有意义的问题。

0.999... 被定义为 9/10+9/10^2+..., 而级数和定义为级数的部分和的极限，这样，0.999... 按实数公理就是一个实数。

现在的问题是 1/100.... 的定义是什么？

denglongshan

小学时候就学过分数可以用无限循环小数表示，实际上，无限循环小数的就是等比数列求和的极限表达式简写，只是小学阶段不可能讲清楚。

elim

1=0.999...与 1/9=0.111...，及 1/3=0.333... 都是代数等价的．

对jzkyllcjl,APB先生等人而言，这些式子一概不成立．

楼主把这些无尽小数视为等比级数，合乎标准分析．而标准分析下所论式子显然都是成立的．

所以jzkyllcjl , ABP先生等人的数学主张不属于标准分析，不能用来否定或肯定标准分析中的这些等式．

他俩的数学主张彼此有冲突，是否都能自圆其说尚不清楚．

elim

APB先生的形式“推导” 8/9 = 0.888... + (8/9)(1/1000...)
1/1000...没有明确释义，假定上式成立就有

(8/9)(1/1000...) = 8/9 - 0.888... = 8/9 - (8/10+8/100+8/1000+...) = 8/9-8/9 = 0
所以在标准分析中 1/1000... = 0.

jzkyllcjl

elim 发表于 2017-8-15 15:32
APB先生的形式“推导” 8/9 = 0.888... + (8/9)(1/1000...)
1/1000...没有明确释义，假定上式成立就有

你说0.999……0.888……是定数，与APB 说1/1000……是数本质上都是把…………看作定数不深入分析的。都需要进一步探讨与说明。

elim

jzkyllcjl 发表于 2017-8-15 11:49
你说0.999……0.888……是定数，与APB 说1/1000……是数本质上都是把…………看作定数不深入分析的。都需 ...

不作深入分析的是你jzkyllcjl. 其实也不是你不想作深入分析，只是程度不够。

jzkyllcjl

elim 发表于 2017-8-15 19:15
不作深入分析的是你jzkyllcjl. 其实也不是你不想作深入分析，只是程度不够。

（1）网友们提出的第一个正确的等式是：
  1= 0.999……9（n个9）+1/10^n，
这个等式可以证明是，首先证明 当n=1时，成立；再设n=k时成立推出n=k+1 成立，最后使用数学归纳法得到对任意自然数n成立。这个等式说明：对任意自然数n， 等式1= 0.999……9（n个9）不成立。
（2）第二个正确的等式：上述等式右端的0.999……9（n个9）可以被看作无穷数列0.9，0.99，0.999，……的通项表达式,这个数列的通项An满足条件∣An-1∣≤ 1/10^n,故这个数列极限是1；1/10^n可以被看作无穷数列1/10，1/10^2,1/10^3, ……的通项表达式，这数列的极限是0；左端的1也可以以常数1为项的无穷数列的极限。因此，对上式两端取极限得恒等式
1= n→∞ 时lim0.999……9（n个9）
这是第二个正确等式。这个极限性等式说明：无穷数列0.9，0.99，0.999，……中的数依次是1的满足误差界序列{1/10^n}的不足近似值，人们可以在这个数列中找到实数1的满足任意小误差界的近似值，这个数列是满足康托儿实数理论中的基本数列定义的无穷数列；故可以提出全能近似表达式1~{0.999……9（n个9）}，或1~{0.9，0.99，0.999，……}；符号~在康托儿实数理论中叫做等价，现在可以称它为全能近似相等。

elim

老头的某些“正确”是他被数学社会抛弃的原因．

denglongshan

1=1/3×3=0.333......×3=0.999......