|
|
楼主 |
发表于 2017-8-17 07:43
|
显示全部楼层
写不到底的0.999……就不是定数，就不能等于1. （1）网友们提出的第一个正确的等式是：
1= 0.999……9（n个9）+1/10^n，
这个等式可以证明是，首先证明 当n=1时，成立；再设n=k时成立推出n=k+1 成立，最后使用数学归纳法得到对任意自然数n成立。这个等式说明：对任意自然数n， 等式1= 0.999……9（n个9）不成立。自然数可以说是无穷多的，因此，即使认为无尽循环小数0.999……中9是无穷多的，现在实数理论中的等式1=0.999……也是不成立的。因为：后边还有1/10^n ，它是无穷小而不是0。
（2）第二个正确的等式：上述等式右端的0.999……9（n个9）可以被看作无穷数列0.9，0.99，0.999，……的通项表达式,这个数列的通项An满足条件∣An-1∣≤ 1/10^n,故这个数列极限是1；1/10^n可以被看作无穷数列1/10，1/10^2,1/10^3, ……的通项表达式，这个数列的极限是0，这个数列是康托儿实数理论中的基本数列，应当从康托儿德基本数列出发研究实数理轮；左端的1也可以以常数1为项的无穷数列的极限。因此，对上式两端取极限得恒等式
1= n→∞ 时lim0.999……9（n个9）
这是第二个正确等式。这个极限性等式说明：无穷数列0.9，0.99，0.999，……中的数依次是1的满足误差界序列{1/10^n}的不足近似值，人们可以在这个数列中找到实数1的满足任意小误差界的近似值，这个数列是满足康托儿实数理论中的基本数列定义的无穷数列；故还可以提出全能近似表达式1~{0.999……9（n个9）}，或1~{0.9，0.99，0.999，……}；符号~在康托儿实数理论中叫做等价，现在可以称它为全能近似相等。
（3）现行实数理轮的不当之处：微积分学建立的过程中始终存在着无穷小、无穷大是不是争论的问题，十九世纪已经使用极限方法叙述导数定义了，由此本来可以使用极限方法建立实数理轮，但是维尔斯特拉斯、戴德金、康托儿等学者却从“完成了的实无穷观点”出发去建立实数理轮。其中，维尔斯特拉斯的实数定义是“称 十进小数α=a0.a1a2……an…… 实数”。在这个定义下，现行教科书提出了无尽循环小数0.999……是定数的概念与等式 1=0.999……。 认真分析起来，这个概念与等式是不恰当的。事实上，这个等式可以说是：把上述极限性等式1= n→∞ 时lim0.999……9（n个9），右端的极限看作无尽小数0.999……了，但是这个无尽小数0.999……是永远写不到底的事物，它不是定数，而是随着小数点后数字的无限增加而无限增大者的变数。elim 网友把无尽小数0.999……看作无穷级数9/10+9/10^2+……+9/10^n+……，然后应用级数理论证明等式0.999……=1成立，但仔细分析一下，他们的证明过程，仍然存在着把这个无尽小数转化为无穷数列0.9，0.99，0.999，……取极限的过程；只不过他“掩盖了这个过程”。 这位网友后来又提出他的连续统结构公理体系，这个体系实质上是康托儿的实数理轮，笔者研究过康托儿的实数理论，笔者认为：康托儿的实数定义混淆了变量与常量、等价与相等的概念，而且他的理论也存在着联系实践不够的缺点。另一位网友，主张有无穷大自然数的学者，他认为：无尽循环小数 0.9 99……中的9的个数是确定的无穷大自然数，它与1的差是这个无穷大自然数减1个0之后为1的数0.00……1，笔者认为：这种无穷大自然数的存在与自然数集合N的无上界性矛盾；此外这位学者提出的无尽小数是定数，将无尽小数0.333……对小数点反射过来得无穷大数……333.0 的说法是行不通的，因为：将它与无尽小数1.4142……，反射过来得的无穷大数……2414.1之间无法比较大小；无法说出后者的最大整数位是什么。
（4）结论，实践是检验数学理论的一个重要标准。虽然维尔斯特拉斯的实数理论已经在数学教科书中用了一百多年，但与实践有矛盾，他忽略了无穷无有终了的事实，忽略了必须使用近似方法的事实。总之，对现有实数理论应当改革。 |
|
IP卡
狗仔卡
显身卡
发表于 2017-8-16 11:46