【趣题征解】设 a,b 是正整数，若对任何正整数 n ，都有 a^n+n|b^n+n ，证明：a＝b

任在深

[这个贴子最后由任在深在 2011/08/31 11:09am 第 1 次编辑]

证明
      因为 n为任何正整数，aˆn+n|bˆn+n,
      所以 (aˆn+n)/(bˆn+n)≡1
        即  aˆn+n=bˆn+n
        那么aˆn=bˆn
        因此a=b     因为幂数相等，质数相同，那么底数必然相同！
   证毕。
                哈哈！鲁班门前弄斧了！！
  注意！
       在《中华单位论》中 aˆn,bˆn都是P进制单位（数），n是单位！
           
      因此 aˆn+n=u;bˆn+n=v都是符合单位,
      由题意知n为任何正整数 u|v,
      只有在 u=v的情况下，才符合上述题意！
      即 aˆn+n=bˆn+n
         aˆn=bˆn
         a=b.
看来弯先生很会因式分解呀？
如果参加考试，你可要吃大亏呀？！-----------时间=2ˆn不好哇！

kanyikan

下面引用由luyuanhong在 2011/08/31 09:22am 发表的内容：
为什么“除以 a^n+n 得余式为 C(n,1)(ma)^(n-1)r+…”?

余式为什么不等于0？
想当然了吧？

任在深

下面引用由cwl在 2011/08/30 10:43am 发表的内容：
w63215的证明很完整

     你的舌头如何？

任在深

下面引用由luyuanhong在 2011/08/30 00:30pm 发表的内容：
请问第 2 楼证明中，为什么会有“ (m-1)＝0 ”？

就让他忽悠吧！？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/08/31 01:36pm 第 1 次编辑]

下面引用由kanyikan在 2011/08/31 11:35am 发表的内容：
余式为什么不等于0？
想当然了吧？

kanyikan 说得对，余式有可能等于 0 。
举一个例子：设 a＝3 ，b＝8 ，n＝2 ，b＝ma+r＝2×3+2 ，m＝2 ，r＝2 。
这时 a^n+n＝3^2+2＝11 ，b^n+n＝8^2+2＝66 。
    b^n+n＝66 可以被 a^n+n＝11 整除，余数是 0 。
也就是说，（ma+r)^n+n 除以 a^n+n ，得到的余式是 0 。

任在深

  数学已经进入了“数”与形结合的时代，国人是否要慎重考虑今后数学的发展方向？
   是否应该抛弃一些什么？
   是否应该拾起一些什么！
   老守田园或跟在别人的屁股后面是无所作为的！
因此用余数定理是不可能证明此题的！

luyuanhong

【趣题征解】设 a,b 是正整数，若对任何正整数 n ，都有 a^n+n|b^n+n ，证明：a＝b 。

【证】用反证法。假设 a＜b 。
     任取一个素数 p＞b ，设 n＝(a+1)(p-1)+1＝ap+p-a 。
     因为素数  p＞b＞a ，(p,a)＝1 ，(p,b)＝1 ，所以由 Fermat 小定理可知，必有
                   a^(p-1)≡1(mod p) ，b^(p-1)≡1(mod p) ，
            a^[(a+1)(p-1)]≡1(mod p) ，b^[(a+1)(p-1)]≡1(mod p) ，
          a^[(a+1)(p-1)+1]≡a(mod p) ，b^[(a+1)(p-1)+1]≡b(mod p) ，
即有                   a^n≡a(mod p) ，b^n≡b(mod p) 。
    同时又有 n＝(a+1)(p-1)+1＝ap+p-a≡-a(mod p) 。
    所以 a^n+n≡a-a≡0(mod p) ，即有 p|a^n+n 。
    因为 a^n+n|b^n+n ，所以必有 p|b^n+n ，即有 b^n+n≡0(mod p) 。
    但是，实际上 b^n+n≡b-a(mod p) ，因为 p＞b＞a ，不可能有 b^n+n≡0(mod p) 。
这样就产生了矛盾，假设不成立，不可能有 a＜b 。
    同时，因为 a^n+n|b^n+n ，也不可能有 a＞b ，所以只可能有 a＝b 。