基础知识：“负负得正”是规定还是可以被证明的定理？

elim

永远 发表于 2019-4-25 21:25
敢问e老师你这个文献出自那本书，可否分享一下，谢谢

【数学分析原理】Walter Rudin.

全部现代数学都建筑在集合论的基础上. 数域是一个集合 F, 其元素叫作数.
在这个集合中定义了两种运算 + 及 ×, 运算的封闭性是说两个数的和及积还是数域中的数.....
运算满足公理组 (A),(M),(D).
有序域既是数域又是序集, 并满足以下二公理:
(i) y < z → x + y < x + z     (平移保持序关系)
(ii) x > 0, y > 0 → xy > 0    (正正得正)

毫不夸张地说, 微积分的一切定理都是具有最小上界性的阿基米德有序域的性质. 即都是实数性质的逻辑推论.
这就是該书的高明和深刻之处.

elim

永远

为什么负负得正？（转载）

中国科学技术大学附属中学教研室   冯发祥
从知识发生的角度来看，乘法运算的法则“负负得正”知识一种规定，而不是推导出来的，先规定运算法则，然后研究运算律是否成立。当然，怎样规定运算法则，不能任意的，要看数系本身的性质。如为了反映客观实际的某种数量关系，从而解决有关实际问题。这样看来，从理论上说，不讲为什么，只说“负负得正”是一种规定，让学生记住并能运用，是正确的。但数学理论上正确的东西，落实到教学上并不妥当，因为它不符合学生的学习心理：知识抽象的规定，而完全没有现实意义的东西，对学生的思维发展是不利的，甚至打击学生学习数学的兴趣。

事实上直到19世纪中叶以前，负负得正运算，在代数课本中并没有得到正确的解释，法国文豪司汤达（1783-1843）在学生时代就曾被这个法则困扰了很久，他的两位数学教师迪皮伊先生和夏佩尔都未能给他一个令他信服的解释，司汤达因而对数学和数学教师产生了不信任，他说：到底是我的两位老师在骗我，还是数学本身就是一场骗局？虽然为了减少学生学习负数乘法运算的理解困难，利用生硬的“规定”的方法直接引入负负得正的法则是不可取的。

下面是一些引入方法，以帮助同学们理解。

1.归纳模型

(-5）×2=-10，（-5）×1=-5，（-5）×0=0.

从而

(-5）×（-1）=5，（-5）×（-2）=10，（-5）×（-3）=15.

2.相反数模型

5×3=5+5+5=15，（-5）×3=（-5）+（-5）+（-5）=-15，

所以，把一个因数换成他的相反数，所得的积就是原来的积的相反数，故（-5）×（-3）=15.

3.负债模型

一人每天欠债5元，给定日期（0元）3天后欠债15元。如果将5元的宅记作-5，那么“每天欠债5元、欠债3天”可以用数学来表达：3×（-5）=-15.同样一人每天欠债5元，那么给定日期（0元）3天前，他的财产比给定日期的财产多15元。如果我们用-3表示3天前，用-5表示每天欠债，那么3天前他的经济情况课表示为（-3）×（-5）=15.

4.故事模型

好人（正数）或坏人（负数），进城（正数）或出城（负数），好（正数）与坏（负数）。

如果好人（+）进城（+），对于城镇来说是好事（+），所以（+）×（+）=+

如果好人（+）出城（-），对于城镇来说是坏事（-），所以（+）×（-）=-

如果好人（+）进城（+），对于城镇来说是好事（+），所以（-）×（+）=-

如果好人（+）进城（+），对于城镇来说是好事（+），所以（-）×（-）=+

如果模型不足以让司汤达这样聪明孩子完全信服，这时候，我们还可以用如下方法来解释为何负负得正。

（-5）×（-3）

=（-5）×（0-3）

=（-5）×0-（-5）×3

=0-（-15）

=15

上面的证明严格的说不过是一个解释而已，因为我们的一句是正数和零所满足的运算律，19世纪德国数学家汉克尔早就告诉我们，在形式化的算术中，负负得正是不能证明的。大数学家克莱因也提出忠告：怒要师徒去证明符号法则的逻辑必要性，别把不肯的证明讲的似乎成立。实际上上面“证明”表明：当我们把非负整数所满足的运算律用语负数时，两个负数相乘的结果只能是正数，数集扩充所遵循的原则之一就是运算律的无矛盾性。

诚然，你可以规定“负负得负”，大师这样做时，你至少必须放弃正整数集所满足的其中一个运算律。这大概是我们能向司汤达两处的最后一张地pain了。然而，数学教育研究结果表明：孩子知识的建构并不是通过演绎推理，而是通过经验收集、比较结果、一般化等手段来完成的。仅仅想学生讲述运算律并不能收到你所期望的效果，因为学生并不情愿利用这些运算律。这与历史的启示是一致的，无疑，现实模型是我们不可缺少的教学方法。

人教社的田载今先生也认为，负负得正的乘法法则是数学中的一种规定（定义），它不能通过逻辑证明得出。然而，对这个法则的规定，既有客观世界中的实际背景，又有数学内部需要和谐发展的思想背景。教学中适当介绍这些背景材料，可以帮助学生认识乘法法则的由来与合理性，但是不能将这样做误认为是证明这个法则。

永远

e老师仔细看该段红线部分，求评价

永远

下面转载之网络上的一篇文章

elim

永远 发表于 2019-4-26 07:33
为什么负负得正？（转载）

中国科学技术大学附属中学教研室   冯发祥

9楼的命题1.18(c)就是负负得正(取z=0). 看不懂我贴出来的几页代数？别人的谬论居然能“看懂”？

谢芝灵

公设：实数域全部在x数轴上。
公设：0为原点，不是正也不是负；0为分界点，0点右边为正，0边左边为负。
公设：数轴上的数，增加一个“正符号”原数在数轴上位置不变；
公设：增加一个“负符号”原数在数轴上位置以0为对称点旋转180度到相反位置，绝对距离不变。

得：+a=+a
得：+（+a）=+a
得：-a=-a
得：-（-a）=+a
得：-（+a）=-a
得：-[-（-a）]=-[a]=-a

得：负负得正。
得：正正得正。

xfhaoym

设a≠0
+a>0.......(1)
-a<0........(2)
把（2）两边同乘负号：-（-a）>0[=a]

也就是否定之否定为真（不是负的就是正的）

谢芝灵

elim 发表于 2019-4-26 13:20

人类先有数的概念，再用数的概念定义出“数模”或 “数域”。
有数才有数的集合。

再通俗点：要你定义人，你总不能 说：由男人，女人组成的叫人。
你都用了人这个概念了。
同理，你得先定义数，再由数去定义自然数、或实数。

elim

谢芝灵 发表于 2019-4-26 20:13
人类先有数的概念，再用数的概念定义出“数模”或 “数域”。
有数才有数的集合。

数就是集合概念,个别的数是数的概念的外延对象,不值得定义. 数的概念主要由运算刻画. 所以数的定义由代数系统的公设给出.