计算 lim ((1^n+2^n+...+n^n)/(n^n))

王守恩

1，我们知道
n/(n-1)×(n-1)/n=1    [n/(n-1)]^n×[(n-1)/n]^n=1
n/(n-2)×(n-2)/n=1    [n/(n-2)]^n×[(n-2)/n]^n=1
n/(n-3)×(n-3)/n=1    [n/(n-3)]^n×[(n-3)/n]^n=1
n/(n-4)×(n-4)/n=1    [n/(n-4)]^n×[(n-4)/n]^n=1
n/(n-5)×(n-5)/n=1    [n/(n-5)]^n×[(n-5)/n]^n=1
n/(n-6)×(n-6)/n=1    [n/(n-6)]^n×[(n-6)/n]^n=1
n/(n-7)×(n-7)/n=1    [n/(n-7)]^n×[(n-7)/n]^n=1
n/(n-8)×(n-8)/n=1    [n/(n-8)]^n×[(n-8)/n]^n=1
2，我们还知道
[n/(n-1)]^n=e^2      [(n-1)/n]^n=1/e^2
[n/(n-2)]^n=e^3      [(n-2)/n]^n=1/e^3
[n/(n-3)]^n=e^4      [(n-3)/n]^n=1/e^4
[n/(n-4)]^n=e^5      [(n-4)/n]^n=1/e^5
[n/(n-5)]^n=e^6      [(n-5)/n]^n=1/e^6
[n/(n-6)]^n=e^7      [(n-6)/n]^n=1/e^7
[n/(n-7)]^n=e^8      [(n-7)/n]^n=1/e^8
[n/(n-8)]^n=e^9      [(n-8)/n]^n=1/e^9
3，我忘记下面该怎么算了  
[(n-1)/n]^n+[(n-2)/n]^n+[(n-3)/n]^n+.........
=1/e^2+1/e^3+1/e^4+1/e^5+1/e^6+........

王守恩

王守恩 发表于 2017-9-12 14:45
elim先生！下面的题目我想了好久，一直无法确认。
能用您的计算软件验算一下吗？我真的不会用计算软件。
...

谢谢elim先生！
lim  [1^0+2^0+3^0+4^0+5^0+......+n^0]÷[n^1÷1^2]=1
lim  [1^1+2^1+3^1+4^1+5^1+......+n^1]÷[n^2÷2^2]=2
lim  [1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+......+n^2]÷[n^3÷3^2]=3
lim  [1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+......+n^3]÷[n^4÷4^2]=4
lim  [1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+......+n^4]÷[n^5÷5^2]=5
lim  [1^5+2^5+3^5+4^5+5^5+......+n^5]÷[n^6÷6^2]=6
lim  [1^6+2^6+3^6+4^0+5^6+......+n^6]÷[n^7÷7^2]=7
lim  [1^7+2^7+3^7+4^1+5^7+......+n^7]÷[n^8÷8^2]=8
lim  [1^8+2^8+3^8+4^2+5^8+......+n^8]÷[n^9÷9^2]=9
..................
极限的值可以是1，2，3，4，5，6，...........
看着这些漂亮的数字，您不心动吗？

elim

给过证明了，这里再给一个不同的证明：

luyuanhong

楼上 elim 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩

elim 发表于 2017-9-18 05:24
给过证明了，这里再给一个不同的证明：

谢谢elim先生！
lim  [1^0+2^0+3^0+4^0+5^0+......+n^0]÷[n^1÷1^2]=1
lim  [1^1+2^1+3^1+4^1+5^1+......+n^1]÷[n^2÷2^2]=2
lim  [1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+......+n^2]÷[n^3÷3^2]=3
lim  [1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+......+n^3]÷[n^4÷4^2]=4
lim  [1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+......+n^4]÷[n^5÷5^2]=5
lim  [1^5+2^5+3^5+4^5+5^5+......+n^5]÷[n^6÷6^2]=6
lim  [1^6+2^6+3^6+4^0+5^6+......+n^6]÷[n^7÷7^2]=7
lim  [1^7+2^7+3^7+4^1+5^7+......+n^7]÷[n^8÷8^2]=8
lim  [1^8+2^8+3^8+4^2+5^8+......+n^8]÷[n^9÷9^2]=9
..................
极限运算不是神秘的运算。
极限运算的值可以是1，2，3，4，5，6，...........
看着这些漂亮的数字，您不心动吗？
看着这些漂亮的数字，您不想凑几串吗？