数值计算商 A(n) = (1^n+2^n+...+n^n)/(n^n)

elim · 发表于 2017-9-17 12:36

注意 n = 10^80, 时 n^n 没有任何计算机的内存可以容下。更别说计算了。

但是楼上的算法竟然可以克服直来直去计算(jzkyllcjl 只会直白四则运算，他的写不到底在这种有限情形也会成为现实)难以逾越的障碍。应该说是个很有意思的案例。

王守恩 · 发表于 2017-9-18 11:02

本帖最后由王守恩于 2017-9-18 11:49 编辑

我们有好的算法。
1，随着A,B的调整，固定分数(19B+3A)/(12B+2A)向主帖靠拢的速度加快。
2，A=1，0，1，14，253，5580，145333，4365570，148574713，
其中：A(n)=A(n-2)+A(n-1)×(4n-2) A(1)=1 A(2)=0
3，B=0，1，10，141，2548，56197，1463670，43966297，1496317768，....
其中：B(n)=B(n-2)+B(n-1)×(4n-2) B(1)=0 B(2)=1
4，当然，我们把A,B的通项公式找出来，想要多快就能多快！
说明：
1，固定分数(19B+3A)/(12B+2A)是用一大一小两面夹逼的方法向主帖靠拢的。
1，在所有不大于分母(12B+2A)的分数中，固定分数(19B+3A)/(12B+2A)是最接近主帖的。

elim · 发表于 2017-9-18 12:33

王守恩 · 发表于 2017-9-20 02:21

本帖最后由王守恩于 2017-9-20 10:16 编辑

要彻底解决主帖的问题，我们不得不说一说伟大的"e"。
1，随着A,B的调整，固定分数2+(5B+A)/(7B+A)向“e”靠拢的速度极快。
2，A=1，0，1，14，253，5580，145333，4365570，148574713，
其中：A(n)=A(n-2)+A(n-1)×(4n-2) A(1)=1 A(2)=0
3，B=0，1，10，141，2548，56197，1463670，43966297，1496317768，....
其中：B(n)=B(n-2)+B(n-1)×(4n-2) B(1)=0 B(2)=1
4，当然，更简单地，"e"=3-2/(7+A/B)

elim · 发表于 2017-9-20 05:52

数值计算问题基本上是解决了. 用连分数逼近 A(n) 的问题也很复杂, 但用连分数逼近 e/(e-1) 的问题可以基本解决如下:

elim · 发表于 2017-9-20 05:57

楼上还没有给出第 n 个渐近分数的通项极与极限值的误差估计.

luyuanhong · 发表于 2017-9-20 06:41

本帖最后由 luyuanhong 于 2017-9-20 06:55 编辑

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，在这个帖中，给出了一个连分数：

(e+1)/(e-1)=[2,6,10,14,18,22,26,30,34,38,…] 。

因为 e/(e-1)=1/2[1+(e+1)/(e-1)] ，所以可得到 e/(e-1) 的一串收敛更快的连分数近似式：

e/(e-1)≈1 ，19/12 ，193/122 ，2721/1720 ， 49171/31082 ，1084483/685524 ，……

elim · 发表于 2017-9-20 13:18

谢谢陆老师楼上关于实数的连分数展开，实数的渐近分数的帖子。现在王守恩网友应该可以从

e/(e-1) = [1,1,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,....] 得到任意多 e/(e-1) 的渐近分数了.

红树 · 发表于 2017-10-1 21:29

红树 · 发表于 2017-10-1 21:32

找到这样式子不易容，很难啊

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