a,b,c＞0，a+b+c=1，证明：(a^2+b^2)/(a+3b)+(b^2+c^2)/(b+3c)+(c^2+a^2)/(c+3a)≥1/2

xfhaoym · 发表于 2017-10-9 08:36

已知a,b＞0，a+b=1求1/a+1/b最小值

1/a+1/b=1+a/b+1+b/a=2+(a/b+b/a), 因为(a/b+b/a)>=2√a/b*b/a 当a/b=b/a时,(a/b+b/a)就是a=b有最小值.
所以:1/a+1/b最小值是:4

...........................................................................................

再讨论:a+b=1 求√a+√b的最小值.

1.用求导方法:y=√a+√b=√a+√1-a

y的导数最后结果:√a=√1-a.就是a=b

y=2√1/2=√2,但是√2是最大还是最小?

一会接着谈

xfhaoym · 发表于 2017-10-9 10:03

为了形象,做个图
从中看到,这个问题没有最小值 ,只有确定的最大值 ymax=√2

如果按a+b>=2√ab公式来求,ymin=√2 肯定是不对的!

问题是哪里出现了错误?

网上特别强调:在用a+b=常数时求如 pa+qb或者a^n+b^n,它们的最小值必须的两项乘积是一常数.

xfhaoym · 发表于 2017-10-9 12:26

所以,要用a+b+c+.....>=n(abc...)^1/n时,弄明白条件.
我就是到现在也弄不明白.

波斯猫猫 · 发表于 2017-10-9 18:20

本帖最后由波斯猫猫于 2017-10-10 07:03 编辑

2楼的证明：
A 是证明 B 是验证 C 只验证了“=”成立 D 无法确定

xfhaoym · 发表于 2017-10-9 19:09

板主出的那题我也是没办法才用了那公式.我本来想用柯西不等式,可用不上.如果说弄对了,也是冒蒙.我想也许出题的人也是这样解决的?但是这样做对不对呢?

dodonaomikiki · 发表于 2017-10-9 19:18

靠的就是，轮换对成性！

三式相等，
最后，a,b,c三个参数相等

XF做得完全正确

xfhaoym · 发表于 2017-10-10 08:08

好象是有根号的就不一定了.是不是那个公式的条件应为:正有理数?而不是正实数?

xfhaoym · 发表于 2017-10-12 11:36

还可以用"权方和不等式"

波斯猫猫 · 发表于 2017-10-13 07:34

本帖最后由波斯猫猫于 2017-10-13 13:03 编辑

是的-----！

xfhaoym · 发表于 2017-10-13 12:12

明明是4/8=1/2!!!

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a,b,c＞0，a+b+c=1，证明：(a^2+b^2)/(a+3b)+(b^2+c^2)/(b+3c)+(c^2+a^2)/(c+3a)≥1/2

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