用3个1表示2进制的数

王守恩

用3个1表示2进制的数。
a(1)=111=7
a(2)=1011=11
a(3)=1101=13
a(4)=1110=14
a(5)=10011=19
a(6)=10101=21
a(7)=10110=22
a(8)=11001=25
a(9)=11010=26

{7, 11, 13, 14, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 35, 37, 38, 41, 42, 44, 49, 50, 52, 56, 67, 69, 70, 73, 74, 76, 81, 82, 84, 88, 97, 98, 100, 104, 112, 131, 133, 134, 137, 138, 140, 145, 146, 148, 152, 161, 162, 164, 168, 176, 193, 194, 196, 200, 208, 224}

1. Select[Range[224], Count[IntegerDigits[#, 2], 1] == 3 &]

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elim

用\(b(i,j,k)\)表示i位2进制数．第j位及第k位是1．
其中\(i\ge 3;\;2\le j\le i-1;\;1\le k\le j-1\)
故这种\(i\)位二进制整数共有\(c(i)=\displaystyle\small\sum_{j=2}^{i-1}(j-1)=\small\frac{(i-1)(i-2)}{2}\)
于是位数为\(i\),最高三位皆为\(1\)的是第\(s(i):=\)
\(\displaystyle\sum_{m=3}^i c(i) = {\small\frac{1}{6}}(i+1)(i^2-4i+6)-1\)个这种数.
注意\(s(9)=84,\;s(10)=120\), 而\(m(k)=\large\frac{k(k-1)}{2}\)
是形如\(110\cdots 0\)的二进制\(k\)位整数的序数。\(m(6)=15\)
故\(\small 1001000001_2=2^9+2^6+1=577\)是第100个二进制仨壹数．

注记： \(b(i,j,k)=2^{i-1}+2^{j-1}+k=a(s(i-1)+m(j-1)+k)=a(n)\).
任给\(1\le k<  j<  i\,(\ge 3)\) 上式给出\(b(i,j,k)=a(n),\)是第\( n= s(i-1)+m(j-1)+k\)个二进仨壹数．
反过来，任给正整数\(n\)令
\(i=\min\{k\mid  n\le s(k)\}\);
\(j=\min\{k\mid  n-s(i-1)\le m(k)\}\);
\(k=n-s(i-1)-m(j-1).\)
\(s(k)=\frac{1}{6}(k+1)(k^2-4k+6)-1\)
\(m(k)=k(k-1)/2\)
则\(a(n)=b(i,j,k)\)


例如 \(b(10,7,1) = 1001000001_2=a(n)\) 的序数数是 \(n=s(9)+m(6)+1=84+15+1=100.\)
\(\qquad\)对\(n=5 ,\; s(4)=4<  5< 10=s(5),\;n-s(4)=1=m(2).\)
\(\therefore\quad i=5, j=1, k=n-s(i-1)-m(j-1)=5-4-0=1\)
\(\qquad a(5)=2^4+2^1+1=19\)

王守恩

先整理基础资料。

1. Table[Select[Range[400], Count[IntegerDigits[#, 2], 1] == k &], {k, 1, 9}]

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用1个1表示2进制的数。{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, 131072, 262144, 524288, 1048576, 2097152, 4194304, 8388608, 16777216, 33554432, 67108864, 134217728, 268435456}
用2个1表示2进制的数。{3, 5, 6, 9, 10, 12, 17, 18, 20, 24, 33, 34, 36, 40, 48, 65, 66, 68, 72, 80, 96, 129, 130, 132, 136, 144, 160, 192, 257, 258, 260, 264, 272, 288, 320, 384, 513, 514, 516, 520, 528, 544, 576, 640, 768, 1025, 1026,1028,1032}
用3个1表示2进制的数。{7, 11, 13, 14, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 35, 37, 38, 41, 42, 44, 49, 50, 52, 56, 67, 69, 70, 73, 74, 76, 81, 82, 84, 88, 97, 98, 100, 104, 112, 131, 133, 134, 137, 138, 140, 145, 146, 148, 152, 161, 162, 164, 168, 176, 193, 194}
用4个1表示2进制的数。{15, 23, 27, 29, 30, 39, 43, 45, 46, 51, 53, 54, 57, 58, 60, 71, 75, 77, 78, 83, 85, 86, 89, 90, 92, 99, 101, 102, 105, 106, 108, 113, 114, 116, 120, 135, 139, 141, 142, 147, 149, 150, 153, 154, 156, 163, 165, 166, 169, 170}
用5个1表示2进制的数。{31, 47, 55, 59, 61, 62, 79, 87, 91, 93, 94, 103, 107, 109, 110, 115, 117, 118, 121, 122, 124, 143, 151, 155, 157, 158, 167, 171, 173, 174, 179, 181, 182, 185, 186, 188, 199, 203, 205, 206, 211, 213, 214, 217, 218,220,227}
用6个1表示2进制的数。{63, 95, 111, 119, 123, 125, 126, 159, 175, 183, 187, 189, 190, 207, 215, 219, 221, 222, 231, 235, 237, 238, 243, 245, 246, 249, 250, 252, 287, 303, 311, 315, 317, 318, 335, 343, 347, 349, 350, 359, 363, 365, 366, 371}
用7个1表示2进制的数。{127, 191, 223, 239, 247, 251, 253, 254, 319, 351, 367, 375, 379, 381, 382, 415, 431, 439, 443, 445, 446, 463, 471, 475, 477, 478, 487, 491, 493, 494, 499, 501, 502, 505, 506, 508, 575, 607, 623, 631, 635, 637, 638, 671}
用8个1表示2进制的数。{255, 383, 447, 479, 495, 503, 507, 509, 510, 639, 703, 735, 751, 759, 763, 765, 766, 831, 863, 879, 887, 891, 893, 894, 927, 943, 951, 955, 957, 958, 975, 983, 987, 989, 990, 999, 1003, 1005, 1006, 1011, 1013, 1014}
用9个1表示2进制的数。{511, 767, 895, 959, 991, 1007, 1015, 1019, 1021, 1022, 1279, 1407, 1471, 1503, 1519, 1527, 1531, 1533, 1534, 1663, 1727, 1759, 1775, 1783, 1787, 1789, 1790, 1855, 1887, 1903, 1911, 1915, 1917, 1918, 1951, 1967}

杨辉三角对应的10进制数。
a(1)=1
a(2)=2       a(1)=3
a(3)=4       a(3)=6       a(1)=7
a(4)=8       a(6)=12     a(4)=14       a(1)=15
a(5)=16   a(10)=24   a(10)=28       a(5)=30       a(1)=31
a(6)=32   a(15)=48   a(20)=56     a(15)=60       a(6)=62     a(1)=63
a(7)=64   a(21)=96   a(35)=112   a(35)=120   a(21)=124   a(7)=126
a(8)=128 a(28)=192 a(56)=224   a(70)=240   a(56)=248 a(28)=252
a(9)=256 a(36)=384 a(84)=448 a(126)=480 a(126)=496 a(84)=504

杨辉三角对应的2进制数。
a(1)=1
a(2)=10                 a(1)=11
a(3)=100               a(3)=110               a(1)=111
a(4)=1000             a(6)=1100             a(4)=1110               a(1)=1111
a(5)=10000         a(10)=11000         a(10)=11100             a(5)=11110             a(1)=11111
a(6)=100000       a(15)=110000       a(20)=111000         a(15)=111100           a(6)=111110         a(1)=111111
a(7)=1000000     a(21)=1100000     a(35)=1110000       a(35)=1111000       a(21)=1111100       a(7)=1111110
a(8)=10000000   a(28)=11000000   a(56)=11100000     a(70)=11110000     a(56)=11111000   a(28)=11111100
a(9)=100000000 a(36)=110000000 a(84)=111000000 a(126)=111100000 a(126)=111110000 a(84)=111111000