可否如下证明0.999……＝1

awei

jzkyllcjl 发表于 2019-5-31 03:27
0.9999……被人们说它是无尽循环小数。 根据无尽是无有穷尽的语文意义，所有 无尽小数都是永远写不到底的 ...

在标准分析里0.999……是可以等于1的，在非标准分析里，0.999……是不等于1的，
这样的讨论我觉得没什么意义，因为能找一大堆

春风晚霞

关于“可否如下证明0.999……＝1”这个话题，jzkyllcjl 先生认为“不存在c使不等式0.999……<c<1成立，但这个数列的极限才等于1， 但这个数列永远不等于1. ”当春风晚霞回贴告知“在康托尔实数理论中不存在c使不等式0.999……<c<1成立 ，那么0.999……就一定等于1，这是康托尔实数连续性的基本表现”后，jzkyllcjl 先生作出了 “我使用了康托尔实数理论中康托尔基本数列的定义，但我不同意康托尔的实数定义”的回应。其实对“不存在c使不等式0.999……<c<1成立 ，那么0.999……就一定等于1”一语，亦可如下理解“若0.999……<1,则至少存在 c=(0.999……+1)/2使不等式0.999……<c<1成立,所以当且仅当0.999……＝1时，才不存在c使不等式0.999……<c<1成立。故此0.999……＝1。”这样也避开了实数连续性的应用，从而整个证明过程都只用了小学生都熟知的逐位比较法，使证明成为初中生（反证法最初出现在初中）都懂的、真正的初等证明。
jzkyllcjl 先生从对0.999……的直观感觉出发认为：“0.9999……被人们说它是无尽循环小数。 根据无尽是无有穷尽的语文意义，所有无尽小数都是永远写不到底的事物，它们都不是定数。如果研究它的实用价值，就必须把0.9999……看作是1的针对误差界序列{1/10^n}以十进小数为项的不足近似值无穷数列0.9，0.99，0.999，…… 的简写 。”换句话讲也就是要研究0.999……的实用价值，就必须认可0.9999……<1。
jzkyllcjl 先生的所有贴文中都强调“0.999……不是定数。”那么什么是定数呢？jzkyllcjl 先生在回答网友的所有贴子中都只字未提。我们是否可能这样理解：jzkyllcjl先生理论中的定数也就是在我们考察或研究的过程中不发生变化的数。如果可以这样认为的话，jzkyllcjl先生把0.999……；√2……划归不定数那就更值得商榷了。因为0.999……和√2……在任何时候都是0.999……和√2……，变化的只是把 “0.9999……看作是1的针对误差界序列{1/10^n}以十进小数为项的不足近似值无穷数列0.9，0.99，0.999，……”和把√2看作是不足近似值无穷数列1，1.4，1.41，1.414……
由于现行的实数理论不利于zkyllcjl 先生对0.999……<1的证明：所以jzkyllcjl 先生决定改造现有的实数理论：其改造的路线如下：①从证明0.999……<1的需要出发，根据0.999……的不足近似值序列提出“不定数”的创新概念→②改造康托尔实数的定义，把0.9999……不足近似值无穷数列0.9，0.99，0.999，……作为康托尔基本序列→③为保证0.9，0.99，0.999，……这一康托尔基本序列的唯一性，纠正康托尔“把彼此等价的基本数列归为一类，每一类称为一个实数，记号【an】 表示与{an} 等价的基本数列类构成的实数是 α，{an} 叫做α 的一个代表”的不当说法→④为保证在证明0.999……<1过程中的各步均有理论依据量身定制“jzkyllcjl氏实数公理”，并在此基础上创建“jzkyllcjl氏实数理论”体系（见zkyllcjl 先生6楼贴文）→⑤在“jzkyllcjl氏实数理论”体系中证明0.999……<1。
由于受直观感觉的影响，关于0.999……<1的相关证明多有同义反复的思维倾向（也就是因为0.999……<1,所以0.999……<1思维形式）。至于zkyllcjl 先生有无这种同义反复的思维倾向，我们还是留待zkyllcjl 先生自悟吧。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2019-5-31 08:58
关于“可否如下证明0.999……＝1”这个话题，jzkyllcjl 先生认为“不存在c使不等式0.999……

你把我的说法理解错了。我没有说0.999……<1，我说的是无穷数列0.9，0.99，0.999，……中的每一个定数都小于1，而0.999……不是定数，它是个无穷数列性质的 变数，这个变数可以无限接近于1。所以不存在不存在c使不等式0.999……<c<1成立。变数不能作为定数理解。等式 0.999……＝1不成立。

春风晚霞

根据zkyllcjl 先生13楼的贴文“我没有说0.999……<1”，我认为zkyllcjl 先生也就承认了0.999……＝１是正确的（因为数有三歧性，先生既然“没有说0.999……<1”，当然也不会说“0.999……>1”了）。只可惜先生最后又说“变数不能作为定数理解。等式 0.999……＝1不成立。”原以为已取得基本一致，想不到又回到分歧的起点。由此看来我与zkyllcjl 先生的分歧不是“0.999……<1”与“0.999……＝１”的分歧，而是“定数”与“数列性变数”的分歧。那么什么是“数列性变数”呢？zkyllcjl 先生是这样定义的“0.999…… 也是无穷数列0.9，0.99，0.999，……的康托尔基本数列的简写，它是无穷数列性质的变数，它的极限是1， 这个数列无限接近于1。”（参见先生在２楼的贴文）其实先生的“数列性变数”的定义本身就是错误的。错误的原因在于①混淆了“数”与“数列”的概念，用集合的语言讲数列是具有某种性质的数的集合，而数列中的每一项（数）只是这个集合中的一个元素。古人把“白马非马”视为诡辩，如用集合的观点看“白马非马”恰为真理。因此“0.999…… 也是无穷数列0.9，0.99，0.999，……的康托尔基本数列的简写”的提法是错误的。因为0.999……既不是这个数列本身，也不是这个数列中的某一特定项，所以无论怎样简写都不可能把一个数列（具有某种性质的数的集合）简写成一个数。“0.9，0.99，0.999，……是康托尔基本数列”不假，但康托尔基本数列并不唯一。如按“四舍五入法”我们又可得到0.999……的又一个“康托尔基本数列”1.0，1.00，1.000，……；不难看出这一数列中的各项与0.999……的近似程度比数列0.9，0.99，0.999，……中各项与0.999……的近似程度还要好得多。我不知先生为什么不把０.999……作为1.0，1.00，1.000，……这个“康托尔基本数列的简写”②在现行实数体系中定数与变数的区别主要在于人们在观察和处理过程中是否发生变化，仅就0.999……而言，不管先生是在哪个年代，哪一天，哪一时刻观察处理它都是小数点后边无穷无尽个９，它决不出现今天的无穷无尽就比昨天的无穷无尽多一些或少一些，这就是我所说的0.999……在任何时候都是0.999……。像√２、√３、π、ln5、……这些数须要用无限不循环小数来表示的数（注意只是表示），它们本身依然是实数并且是定数。现代实数体系（康托尔、戴德金、威尔斯特拉斯三大标校准分析的实数理论和鲁滨逊的超实数理论）中：0.999……、√２、√３、π、ln5、……都是实数并且是定数，至于在你的“jzkyllcjl氏实数理论”体系中是不是定数的问题，还是等你的“jzkyllcjl氏实数公理”“经过人类长期反复实践的考验和社会上多数人公认”后再说吧。（请参见《中华辞海》公理词条）
最后说说康托尔实数定义中无穷数列0.9，0.99，0.999，……和无穷数列1.0，1.00，1.000，……；都是康托尔基本数列并且它们彼此等价，归并为同一类后得到的就是单元集{１}，所以0.999……＝１。

jzkyllcjl

第一，康托尔实数定义中无穷数列0.9，0.99，0.999，……和无穷数列1.0，1.00，1.000，……等价的说法是对的；但两者不同，前者 每一项都小于1，后者每一项 都等于1. 把两者看作 相等 都等于1不妥当。
第二，我们应当尊重实践.0.999……在任何时候都是永远写不到底的事物，不能看作定数。定数都是表示一定大小 能写出的符号，.0.999……不是这样，它的9 是永远写不到底的，所以不能作为定数。近代数学家 康托尔 把 无穷 看作完成了的实无穷的做法 是违背实践的，不可取的。也是有争论的。
第三，√２、√３是定数，但它们无尽小数 表达式 1.4142……，1.732…… 不是定数。{n}不是定数，其中n 才是定数。
第四， 如果你把无尽小数 1.4142……看作定数，那么请问：你的表达式1.4142……，中有没有100个挨着的0？这个问题不是我提出的 。是徐利治在他的著作 自然数列二重性与双相无限性及其对数学发展的影响[A]，《论数学方法学》[C]，2003，490-501 页 写着的“难题”。 请你研究后回答！

elim

写不到底的东西是无底可写,无必要多写的东西. jzkyllcjl 的"写"没有严格的数学意义.

坚决发对 jzkyllcjl 没拉过屎的茅房不存在的谬论.

jzkyllcjl

elim 发表于 2019-6-2 13:41
写不到底的东西是无底可写,无必要多写的东西. jzkyllcjl 的"写"没有严格的数学意义.

坚决发对 jzkyllcjl ...

写不到底的东西是无底可写, 因此就不能它看作定数。

elim

因什么“此”? 畜生不如的jzkyllcjl 连变数概念也要歪曲．

春风晚霞

zkyllcjl 先生在1５#的贴文中向我提出了四个诘问，并为我推荐了徐利治先生的《论数学方法学》，同时责成我“研究后回答！”不过，我认为回答zkyllcjl的诘问，用不着等到研读徐利治先生大作之后，现在就回复于次：
一、康托尔的实数定义并非不妥，既然先生以己认可“康托尔实数定义中无穷数列0.9，0.99，0.999，……和无穷数列1.0，1.00，1.000，……等价的说法是对的”，那么剩下就只有“归并为同一类后得到的就是{１}”的问题了。由于解决这个问题涉及集合的概念、集合中元素的特性和集合的运算；当先生了解这些基础知识后，自然也就明白了康托尔“把彼此等价的基本数列归为一类，每一类称为一个实数，记号【an】 表示与{an} 等价的基本数列类构成的实数是 α，{an} 叫做α 的一个代表。”的说法没有什么“不恰当”的了。
对于0999……＝１，除康托尔实数体系外，戴德金的实数理论（参见格&#8226;马&#8226;菲赫金哥尔茨著《数学分析原理》第一分册第一章　实数Ｐ7——Ｐ9），威尔斯特拉斯实数理论（参见吉林师范大学数学系数学分析教研室《数学分析讲义》第五章实数理论Ｐ129——Ｐ134）都是以严格定义的方式给出了证明。注意，我所说的“严格定义”是指定义项是被定义项的充分必要条件。如果先生肯放下身段，屈尊研读，其中深意也是不难理解的。
春风晚霞对0.999……＝１的证明，只用了小学生都熟知的逐位比较法和初中生都知道的反证法思想，整个证明过程与“数列性变数”、“潜无穷”、“实无穷”等前卫概念没有任何关系。先生既然认可“不存在c使不等式0.999……<c<1成立”，本来就应该认可0.999……＝１是真命题了。但zkyllcjl 先生偏偏以谬制谬，成心对抗，凭空生出一个“数列性变数”幺蛾子来。司马昭之心，路人皆知。先生的 “数列性变数”的创新理念，无非是为0.999……<1的循环论证（即因为0.999……<1，所以0.999……<1的思维方式）打下伏笔。
第二，“我们应当尊重实践.0.999……在任何时候都是永远写不到底的事物，不能看作定数。定数都是表示一定大小 能写出的符号，.0.999……不是这样，它的9 是永远写不到底的，所以不能作为定数。近代数学家康托尔把无穷看作完成了的实无穷的做法 是违背实践的，不可取的。也是有争论的。”
由于“数列性变数”的定义不仅不是严格的数学定义，而且把一个具有某种性质的数的集合定义成一个数这是极端错误的。在这种“马是白马”的逻辑错误下衍生出的“不定数”理论必然错上加错（参见春风晚霞14#贴文）。我们认为所谓定数，应当是数学中取值固定不变的数。如圆的周长和直径的比π，数e，√２……这些在我们观察处理过程中不发生变化的数。前面我们已经证明了1＝0.999……所以0.999……是定数。因此“我们应当尊重实践.0.999……在任何时候都是永远写不到底的事物，不能看作定数”的说法是没有道理的。对于先生的高论，我感到非常奇怪，为什么坚持在感性认识阶段得到的错觉0.999……<1就是“尊重实践”，而主张由近似程度好得多的“四舍五入法”得到的“0.999……＝１”就不算“尊重实践”了？数学哲学上的“潜、实无穷”之争与0.999……是否等于１没有关系，毕竟0.999……既不是无穷大量也不是无穷小量。如果硬要把它和“潜、实无穷”牵扯在一起，那也只与表示0.999……中9的个数的自然数有一点关联。其实就是在鲁滨逊的超实数理论中，也无由无尽小数表示的数如√２、√３……是什么“不定数”之说。
第三，“√２、√３是定数，但它们无尽小数表达式 1.4142……，1.732…… 不是定数。{n}不是定数，其中n 才是定数。”因为数学源于实践，又作用于实践。根据社会实践的需要，人们常需要把像√２、√３、ln5、sin21……这些确定的数表示（注意只是表示）成无穷级数的形式：√２＝１.4142……；√3=1.7320……；ln5=1.6094……；sin21=0.8366……，……虽然这些等式的右端都是无穷无尽的小数，但√２、√３、ln5、sin21……仍然是定数。根据实数域中的数具有对称性（即：若a=b，则b=a）,所以１.4142……＝√2； 1.7320……＝√3； 1.6094……＝ln5；0.8366……＝sin21；……也是定数。
第四，“ 如果你把无尽小数 1.4142……看作定数，那么请问：你的表达式1.4142……中有没有100个挨着的0？这个问题不是我提出的 。是徐利治在他的著作自然数列二重性与双相无限性及其对数学发展的影响[A]，《论数学方法学》[C]，2003，490-501 页 写着的“难题”。 请你研究后回答！”
“把无尽小数 1.4142……看作定数，那么请问：你的表达式1.4142……，中有没有100个挨着的0？”这个问题先生不该问我，你主张1.4142……是不定数，你能得到解答吗？感谢先生为我推荐徐利治先生的《论数学方法学》，不过回答先生的四个诘问，用不着在研读徐先生大作之后。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2019-6-3 07:22
zkyllcjl 先生在1５#的贴文中向我提出了四个诘问，并为我推荐了徐利治先生的《论数学方法学》，并要求我“ ...

谢谢你的回答。我虽然认为：1、1/3,√２、√３、ln5、sin2都是定数。但我认为：这些定数的 绝对准十进小数表达达式 是不存在的。例如：第一，无尽循环小数 0.999……只能是1的 针对误差界序列 {1/10^n}的不足近似值无穷数列 0.9，0.99，0.999，……，这个数列是康托尔实数理论中 基本数列，这个数列中的数是有界递增的数列性变数，它不是一个定数，这个数列中的数 都小于1，只有这个无穷数列的极限才是1. 把这个基本数列性质的变数，看作1 是康托尔的张冠李戴性做法，是违背逻辑法则的。
第二，如果使用康托儿的实数理轮，就有无穷数列{1/n} 等于0得结论。这个结论与华东师大 编数学分析上册 中76页说的论述“无穷小量不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0的函数）”矛盾。这样一来，现行数学分析就不成立了。所以，康托儿实数定义必须改革。