请教陆老师一个关于射影几何的问题

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/04 11:09am 发表的内容：
原来是这样！
我以前一直以为完全封闭的单侧曲面只有克莱因瓶一种，现在看来不是这样的。
我在3daxmax软件中试着看能否做出这个曲面来，到了“如下图”这一步，似乎有点弄不下去了。
要想把BB';、CC';、DD';都连接起来，好像两边都要扭一下，这个似乎和莫比乌斯带的做法很类似。

射影平面的闭曲面图像，确实与 Mobius（莫比乌斯）带有关。

天茂

这个图勉强做了一个，不知对否？请陆老师评判：

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/05 00:00am 第 2 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/04/04 07:02pm 发表的内容：
这个图勉强做了一个，不知对否？请陆老师评判：

楼上的立体图很漂亮，但细节看不大清楚，无法评判作得对不对。
下面是我作的一个射影平面的封闭曲面图，可供参考（图中的紫红色线，是曲面自身交叉处）。

天茂

有了陆老师的这个图，我就好做了。请陆老师评判：

luyuanhong

楼上天茂的图非常漂亮！我已经将它们转发到“陆老师的《数学中国》”。

天茂

通过思考，还有几个问题还需要请教陆老师：
1、射影平面的封闭曲面上的任意一条封闭曲线均可担当“无穷远直线”的角色，这和圆上任一点均可作为“无穷远点”的道理是一样的，对吗？
2、我发现在射影平面的封闭曲面上是无法截出一条莫比乌斯带来的，这似乎与它是单侧面的特性不相称，也和它与莫比乌斯带的关系不相称，这是为什么呢？

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/04/07 09:56am 第 1 次编辑]

通过在软件中试验（见下图），前一帖的观点需要修正：
1、射影平面的封闭曲面上的任意一条经过自交处（13楼中的紫红色线）的封闭曲线均可担当“无穷远直线”（下图中的红线）的角色，不知这样说对不对？
2、在射影平面的封闭曲面上既可以截出莫比乌斯带（下图中的黄带），也可以截出正常的圆环带（下图中的绿带），但是这两类宽带与无穷远直线的相交部分却可以是多种类型，如何解释这些类型呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/07 00:34pm 第 2 次编辑]

射影平面挖去一个洞就是莫比乌斯带：

天茂

看来，射影平面的封闭曲面图和莫比乌斯带有着千丝万缕的关系。
我现在有一个问题感到很迷惑，在射影平面的封闭曲面上，似乎只有两种类型的封闭曲线（如下图中的蓝线和黄线），请问陆老师：这两种封闭曲线是否都可以看做射影平面的封闭曲面上的“无穷远直线”吗？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/08 04:40pm 第 2 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/04/07 07:48pm 发表的内容：
看来，射影平面的封闭曲面图和莫比乌斯带有着千丝万缕的关系。
我现在有一个问题感到很迷惑，在射影平面的封闭曲面上，似乎只有两种类型的封闭曲线（如下图中的蓝线和黄线），请问陆老师：这两种封闭曲线是否都可以看做射影平面的封闭曲面上的“无穷远直线”吗？

    射影平面上任何直线，都与无穷远直线相交于一个无穷远点。所以，
只有与无穷远直线有且只有一个交点的闭曲线，才可以看作是直线。
    在上图中，无穷远直线位于上部曲面自身交叉处。上图中的绿色闭曲线
与无穷远直线有一个交点，所以可以看作是直线。上图中的蓝色闭曲线与无
穷远直线有两个交点，不符合要求，不能看作是直线。上图中的黄色闭曲线
与无穷远直线没有交点，也不符合要求，所以也不能看作是直线。
    射影平面中的任何直线，都可以通过射影变换，变成无穷远直线。而
不是直线的闭曲线，则不能通过射影变换变成无穷远直线。