从非标准分析的观点来看“无穷级数悖论”

jzkyllcjl

陆教授：你如何回答“物体按瞬时速度运动的时段长是不是零呢？”的问题吗？具体一点：自由落体按v=2g运动的时段长是不是零呢？

qingjiao

这么说发散级数进行加减乘除等运算，得到的结果可能正确也可能不正确？
看来搞清楚正确和不正确的原因和条件，有机会对数学发展作出某种突破。
我猜测发散级数进行加减乘除运算结果正确的一个必要条件（不是充分条件）是其通项的绝对值趋于0，由此可以排除1+2+4+8+...=-1的情形，与及类似1-1+1-1+1-1+...之类的情形。
当然仅有这个条件仍不能排除主贴中的错误。

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2012/06/11 05:20pm 第 1 次编辑]


另外请陆教授注意，我在9楼上半部分提出的证明方法和下半部分的方法一不同。这个方法是许多个无穷级数的乘积，但每个无穷级数显然都是收敛的，虽然其乘积不收敛。
那么请问上半部分这个证明方法是否正确？

qingjiao

感觉上，级数是否发散和所谓“绝对可积”有关。
例如1+1/2+1/3+1/4+...近似于f(x)=1/x在1~+∞~∞的积分，其积分函数是logX，X-->+∞时logX-->+∞，故原级数发散。
另外如引入“发散速度”指标，即在有限项内的级数和，则发散速度越大，对级数进行运算越容易出现错误。
例如1+4+8+...，其发散速度为X^3数量级，远大于1+1/2+1/3+1/4+...的logX数量级。故对后一个级数加减乘除仍有可能正确，前一个级数则很可能没有任何正确的机会。

jzkyllcjl

[这个贴子最后由jzkyllcjl在 2012/06/12 08:18am 第 1 次编辑]

陆教授：你如何回答“物体按瞬时速度运动的时段长是不是零呢？”的问题呢？具体一点：自由落体按v=2g运动的时段长是不是零呢？

jzkyllcjl

陆教授：你是有才能的。如果你回答不了“物体按瞬时速度运动的时段长是不是零呢？的问题，就说明现行数学分析与非标准分析都是不完备的，或者说它们都是有矛盾的。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/06/14 03:01pm 第 3 次编辑]

下面引用由jzkyllcjl在 2012/06/12 08:16am 发表的内容：
陆教授：你如何回答“物体按瞬时速度运动的时段长是不是零呢？”的问题呢？具体一点：自由落体按v=2g运动的时段长是不是零呢？

问题  物体作自由落体运动，在时刻 t 的瞬时运动速度为 v=gt 。
     问：物体以瞬时速度 v=gt 运动的时段长度是不是零？

回答  在非标准分析中有两种“零”：一种是“非零无穷小量”，另一种是“真正的绝对的零”。
两种“零”的共同特点是：它们的绝对值都小于任何正实数。在标准分析中，我们知道，绝对值
小于任何正实数的数，只能是零，在这个意义上，它们都可以看作是“零”。但是，它们又有
不同之处：“非零无穷小量”的绝对值大于“真正的绝对的零”，作除法时，“非零无穷小量”
可以做分母，“真正的绝对的零”不允许做分母。
    相应地，在非标准分析中有两种“相等”：一种是“相差一个非零无穷小量的相等”，两个
数，如果只相差一个非零无穷小量，就可以认为它们“相等”；另一种是“真正的绝对的相等”，
两个数的差，必须是“真正的绝对的零”，这两个数才是“真正的绝对的相等”。
    按照非标准分析观点来看，可设 ε>0 是一个正无穷小量，在时段 [t-ε,t+ε] 中，物体的
运动速度从 gt-gε 变化到 gt+gε 。因为 g 是一个正常数，ε 是一个正无穷小量，所以 gε 也
是一个正无穷小量。
    在时段 [t-ε,t+ε] 中，物体的运动速度与 gt 只相差一个无穷小量，所以，从“相差一个
非零无穷小量的相等”的意义来说，在时段 [t-ε,t+ε] 中，物体的运动速度都“等于”v=gt 。
这个时段的长度是 2ε，是一个“非零无穷小量”，不是“真正的绝对的零”。
    如果从“真正的绝对的相等”的意义来说，那么，只有当时刻真正绝对等于 t 时，运动速度
才能真正绝对等于 gt ，也就是说，速度真正绝对等于 gt ，只能在 t 那一点，不包括在 t 的
前后与它相差一个正无穷小量的时段，所以，在这个意义上，应该说，速度“真正绝对等于”gt 的
时段长度，是一个“真正的绝对的零”。

jzkyllcjl

陆教授：您说：“所以，在这个意义上，应该说，速度“真正绝对等于”gt 的
时段长度，是一个“真正的绝对的零。””
那么，由于 “真正的绝对的零。”是绝对的无，这是不是说“下落物体没有真正按照这个速度进行下落运动”

ygq的马甲

如果从“真正的绝对的相等”的意义来说，那么，只有当时刻真正绝对等于 t 时，运动速度才能真正绝对等于 gt ，也就是说，速度真正绝对等于 gt ，只能在 t 那一点，不包括在 t 的前后与它相差一个正无穷小量的时段，所以，在这个意义上，应该说，速度“真正绝对等于”gt 的时段长度，是一个“真正的绝对的零”。

西方第二次数学危机，说的就是贝克莱悖论（Ｂｅｒｋｅｒｌｙ，无穷小量到底是不是零？），本质上是变量的问题，即近似值如何转换到精确值。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2012/06/14 02:52pm 发表的内容：
问题  物体作自由落体运动，在时刻 t 的瞬时运动速度为 v=gt 。
     问：物体以瞬时速度 v=gt 运动的时段长度是不是零？
回答  ……
   如果从“真正的绝对的相等”的意义来说，那么，只有当时刻真正绝对等于 t 时，运动速度才能真正绝对等于 gt ，也就是说，速度真正绝对等于 gt ，只能在 t 那一点，不包括在 t 的前后与它相差一个正无穷小量的时段，所以，在这个意义上，应该说，速度“真正绝对等于”gt 的时段长度，是一个“真正的绝对的零”。

请问陆老师：既然此时时段的长度是一个“真正的绝对的零”，那就是说，此时此刻世界上的万事万物都是凝固不动的，怎么可能产生速度呢？